解説

方針・初手

$f(x)=x^4-x^2$ は偶関数であり、まず微分して増減と極値を調べるのが基本である。

そのうえで、$f(x)=k$ は $x^2=t$ とおくと $t$ の2次方程式に帰着できるので、4つの異なる実数解を持つ条件は「$t$ が異なる2つの正の解を持つこと」と言い換えて処理する。

解法1

**(1)**

$f(x)$ を微分すると

$$ f'(x)=4x^3-2x=2x(2x^2-1) $$

であるから、停留点は

$$ x=0,\ \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

である。

さらに

$$ f''(x)=12x^2-2 $$

より、

$$ f''(0)=-2<0 $$

であるから、$x=0$ で極大値をとる。また、

$$ f''\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=12\cdot \frac12-2=4>0 $$

であるから、$x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極小値をとる。

それぞれの値は

$$ f(0)=0 $$

$$ f\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(\frac12\right)^2-\frac12=\frac14-\frac12=-\frac14 $$

である。

したがって、極大値は $0$、極小値は $-\dfrac14$ である。

**(2)**

方程式

$$ x^4-x^2=k $$

に対して $t=x^2\ (t\geqq 0)$ とおくと、

$$ t^2-t-k=0 $$

となる。

この方程式が $x$ について異なる4つの実数解を持つためには、$t$ が異なる2つの正の解を持てばよい。実際、正の解を $t_1,t_2$ とすれば、

$$ x=\pm \sqrt{t_1},\ \pm \sqrt{t_2} $$

の4つが異なる実数解になるからである。

$t^2-t-k=0$ が異なる2つの正の解を持つ条件を求める。

判別式が正であることより

$$ 1+4k>0 $$

すなわち

$$ k>-\frac14 $$

である。

また、2解の積は

$$ t_1t_2=-k $$

であるから、両方正であるためには

$$ -k>0 $$

すなわち

$$ k<0 $$

が必要である。

このとき解の和は

$$ t_1+t_2=1>0 $$

なので、積が正で和が正であることから2解はともに正である。

よって求める範囲は

$$ -\frac14<k<0 $$

である。

**(3)**

（2） の条件のもとで、正の解を $\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$ とする。すると $\alpha^2,\beta^2$ は

$$ t^2-t-k=0 $$

の2解である。

したがって、解と係数の関係より

$$ \alpha^2+\beta^2=1,\qquad \alpha^2\beta^2=-k $$

が成り立つ。

ここで $\beta=2\alpha$ だから

$$ \alpha^2+\beta^2=\alpha^2+4\alpha^2=5\alpha^2=1 $$

より

$$ \alpha^2=\frac15,\qquad \beta^2=\frac45 $$

となる。

よって

$$ -k=\alpha^2\beta^2=\frac15\cdot \frac45=\frac{4}{25} $$

であるから、

$$ k=-\frac{4}{25} $$

である。

**(4)**

（3） のとき

$$ \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad \beta=\frac{2}{\sqrt{5}},\qquad k=-\frac{4}{25} $$

である。

求める面積を $S$ とする。区間 $\alpha\leqq x\leqq \beta$ では、$x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で $f(x)$ が最小となり、

$$ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac14<-\frac{4}{25}=k $$

であるから、この区間では直線 $y=k$ が曲線 $y=f(x)$ の上側にある。

したがって

$$ S=\int_{\alpha}^{\beta}{k-f(x)},dx $$

である。よって

$$ S=\int_{1/\sqrt{5}}^{2/\sqrt{5}}\left(-\frac{4}{25}-(x^4-x^2)\right),dx =\int_{1/\sqrt{5}}^{2/\sqrt{5}}\left(x^2-x^4-\frac{4}{25}\right),dx $$

となる。

これを積分すると

$$ S=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}-\frac{4x}{25}\right]_{1/\sqrt{5}}^{2/\sqrt{5}} $$

である。

各値を代入すると、

$$ \frac{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3}{3}-\frac{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^5}{5}-\frac{4}{25}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}} =\frac{8}{15\sqrt{5}}-\frac{32}{125\sqrt{5}}-\frac{8}{25\sqrt{5}} =\frac{16}{75\sqrt{5}} $$

$$ \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^3}{3}-\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^5}{5}-\frac{4}{25}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}} =\frac{1}{15\sqrt{5}}-\frac{1}{125\sqrt{5}}-\frac{4}{25\sqrt{5}} =-\frac{2}{75\sqrt{5}} $$

であるから、

$$ S=\frac{16}{75\sqrt{5}}-\left(-\frac{2}{75\sqrt{5}}\right) =\frac{18}{75\sqrt{5}} =\frac{6}{25\sqrt{5}} $$

となりそうに見えるが、これは計算が合わないので整理し直す。

直接まとめて計算すると

$$ S=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}-\frac{4x}{25}\right]_{1/\sqrt{5}}^{2/\sqrt{5}} $$

$$ =\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\frac{u^3}{15}-\frac{u^5}{125}-\frac{4u}{25}\right]_{u=1}^{2} $$

であり、

$$ S=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{8}{15}-\frac{32}{125}-\frac{8}{25}\right)-\left(\frac{1}{15}-\frac{1}{125}-\frac{4}{25}\right)\right\} $$

$$ =\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{16}{75}-\left(-\frac{2}{25}\right)\right) =\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{22}{75} =\frac{22}{75\sqrt{5}} $$

とも見えるが、これも係数処理にずれがある。そこで $x=\dfrac{u}{\sqrt{5}}$ と置いて最初から整理する。

$$ S=\int_{1/\sqrt{5}}^{2/\sqrt{5}}\left(x^2-x^4-\frac{4}{25}\right),dx $$

ここで $x=\dfrac{u}{\sqrt{5}}$ とおくと $dx=\dfrac{du}{\sqrt{5}}$ であり、$u$ は $1$ から $2$ まで動く。したがって

$$ S=\frac{1}{25\sqrt{5}}\int_1^2(-u^4+5u^2-4),du $$

となる。

よって

$$ S=\frac{1}{25\sqrt{5}}\left[-\frac{u^5}{5}+\frac{5u^3}{3}-4u\right]_1^2 $$

である。

ここで

$$ \left(-\frac{2^5}{5}+\frac{5\cdot 2^3}{3}-8\right)-\left(-\frac15+\frac53-4\right) =-\frac{32}{5}+\frac{40}{3}-8+\frac15-\frac53+4 =\frac{22}{15} $$

だから、

$$ S=\frac{1}{25\sqrt{5}}\cdot \frac{22}{15} =\frac{22}{375\sqrt{5}} =\frac{22\sqrt{5}}{1875} $$

である。

解説

この問題の要点は、$x^4-x^2=k$ をそのまま4次方程式として扱わず、$t=x^2$ とおいて2次方程式に落とすことである。

（2） では「4つの異なる実数解」を、$t$ が「異なる2つの正の解を持つ」という条件に正確に言い換えることが重要である。

また （3） では、$\alpha,\beta$ 自体ではなく $\alpha^2,\beta^2$ が2次方程式の解であることに注意すれば、解と係数の関係をそのまま使える。

（4） は面積計算であるが、どちらが上側のグラフかを確認してから積分する必要がある。この確認を省くと符号を誤りやすい。

答え

**(1)**

極大値は $0$（$x=0$）、極小値は $-\dfrac14$（$x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$）である。

**(2)**

$$ -\frac14<k<0 $$

**(3)**

$$ k=-\frac{4}{25} $$

**(4)**

面積は

$$ \frac{22}{375\sqrt{5}}=\frac{22\sqrt{5}}{1875} $$

である。