解説

方針・初手

放物線 $C:y=x^2$ の $x=t$ における接線は

$$ y=2tx-t^2 $$

である。これが点 $P(p,q)$ を通る条件を立てると、接点の $x$ 座標が満たす二次方程式が得られる。そこで、その2解を用いて $Q,R$ の座標を表し、面積を積分で求める。

このとき、放物線と接線の差が平方の形になり、計算が非常に簡潔になることが重要である。

解法1

$C:y=x^2$ 上の点 $(t,t^2)$ における接線は

$$ y=2tx-t^2 $$

である。

この接線が $P(p,q)$ を通るための条件は

$$ q=2tp-t^2 $$

すなわち

$$ t^2-2pt+q=0 $$

である。

$q<p^2$ より、この二次方程式は相異なる2実根をもつ。その2根を $\alpha,\beta$ とすると、

$$ \alpha+\beta=2p,\qquad \alpha\beta=q $$

であり、

$$ \alpha=p-\sqrt{p^2-q},\qquad \beta=p+\sqrt{p^2-q} $$

と書ける。したがって、$Q,R$ はそれぞれ $x=\alpha,\beta$ に対応する点である。

（1） $C$ と2本の接線で囲まれた部分の面積

$x=\alpha$ における接線を $l_\alpha$, $x=\beta$ における接線を $l_\beta$ とする。

それぞれ

$$ l_\alpha:y=2\alpha x-\alpha^2,\qquad l_\beta:y=2\beta x-\beta^2 $$

である。

また、2本の接線はいずれも $P(p,q)$ を通るので、その交点は $P$ であり、$p=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ である。したがって、求める面積 $S_1$ は

$$ S_1=\int_{\alpha}^{p}{x^2-(2\alpha x-\alpha^2)},dx+\int_{p}^{\beta}{x^2-(2\beta x-\beta^2)},dx $$

となる。

ここで

$$ x^2-(2\alpha x-\alpha^2)=(x-\alpha)^2,\qquad x^2-(2\beta x-\beta^2)=(x-\beta)^2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S_1 &=\int_{\alpha}^{p}(x-\alpha)^2,dx+\int_{p}^{\beta}(x-\beta)^2,dx \\ &=\frac{(p-\alpha)^3}{3}+\frac{(\beta-p)^3}{3} \end{aligned} $$

となる。

ところが

$$ p-\alpha=\beta-p=\sqrt{p^2-q} $$

であるから、

$$ S_1=\frac{2}{3}(p^2-q)^{3/2} $$

を得る。

（2） $\dfrac{S_2}{S_1}$ の値

次に、直線 $QR$ の方程式を求める。

$Q(\alpha,\alpha^2),R(\beta,\beta^2)$ を通る直線の傾きは

$$ \frac{\beta^2-\alpha^2}{\beta-\alpha}=\alpha+\beta=2p $$

である。また、切片は $-\alpha\beta=-q$ であるから、

$$ QR:\ y=2px-q $$

である。

したがって、$QR$ と $C$ で囲まれた部分の面積 $S_2$ は

$$ S_2=\int_{\alpha}^{\beta}{(2px-q)-x^2},dx $$

である。

ここで $\alpha,\beta$ は $x^2-2px+q=0$ の2解であるから、

$$ 2px-q-x^2=-(x^2-2px+q) $$

であり、

$$ x^2-2px+q=(x-p)^2-(p^2-q) $$

より

$$ 2px-q-x^2=(p^2-q)-(x-p)^2 $$

となる。

$d=\sqrt{p^2-q}$ とおくと、$\alpha=p-d,\ \beta=p+d$ なので、

$$ \begin{aligned} S_2 &=\int_{p-d}^{p+d}{d^2-(x-p)^2},dx \\ &=\int_{-d}^{d}(d^2-u^2),du \\ &=\left[d^2u-\frac{u^3}{3}\right]_{-d}^{d} \\ &=\frac{4}{3}d^3 \end{aligned} $$

となる。すなわち、

$$ S_2=\frac{4}{3}(p^2-q)^{3/2} $$

である。

よって、

$$ \frac{S_2}{S_1} =\frac{\frac{4}{3}(p^2-q)^{3/2}}{\frac{2}{3}(p^2-q)^{3/2}} =2 $$

である。

解説

この問題の要点は、接点の $x$ 座標を文字 $t$ で置いて接線

$$ y=2tx-t^2 $$

を使うことである。点 $P(p,q)$ を通る条件から、接点の $x$ 座標が二次方程式

$$ t^2-2pt+q=0 $$

の2解になることが分かる。

その後は、接線と放物線の差が $(x-\alpha)^2,\ (x-\beta)^2$ となるため、面積計算が一気に整理される。さらに、弦 $QR$ の方程式も解と係数の関係を使えばすぐに

$$ y=2px-q $$

と求まる。接線と弦のどちらも、$x$ 座標に注目して整理するのが典型である。

答え

**(1)**

$C$ と2本の接線で囲まれた部分の面積は

$$ \frac{2}{3}(p^2-q)^{3/2} $$

である。

**(2)**

$$ \frac{S_2}{S_1}=2 $$