解説

方針・初手

固定した $p$ に対し，

$$ a=p^2+2p $$

とおくと，

$$ g(x)=|x-a| $$

である。したがって，$0\le x\le 1$ における $g(x)$ の最小値 $q$ は，実数 $a$ と区間 $[0,1]$ との距離に等しい。

よってまず $a=p^2+2p$ が $0$ と $1$ のどの位置にあるかで場合分けすれば，$q=f(p)$ の形が求まる。

解法1

$p^2+2p=(p+1)^2-1$ であるから，

$$ q= \begin{cases} -a & (a<0),\\ 0 & (0\le a\le 1),\\ a-1 & (a>1) \end{cases} \qquad (a=p^2+2p) $$

となる。

まず，各条件を $p$ の範囲に直す。

（i） $a<0$ のとき

$$ p^2+2p<0 $$

より，

$$ p(p+2)<0 $$

であるから，

$$ -2<p<0 $$

である。このとき

$$ q=-(p^2+2p)=-p^2-2p=1-(p+1)^2 $$

となる。

（ii） $0\le a\le 1$ のとき

まず

$$ p^2+2p\ge 0 $$

より，

$$ p\le -2 \quad \text{または} \quad p\ge 0 $$

である。

また

$$ p^2+2p\le 1 $$

より，

$$ p^2+2p-1\le 0 $$

すなわち

$$ -1-\sqrt2\le p\le -1+\sqrt2 $$

である。

したがって両者の共通範囲は

$$ -1-\sqrt2\le p\le -2,\qquad 0\le p\le -1+\sqrt2 $$

である。このとき

$$ q=0 $$

となる。

（iii） $a>1$ のとき

$$ p^2+2p>1 $$

より，

$$ p^2+2p-1>0 $$

すなわち

$$ p<-1-\sqrt2 \quad \text{または} \quad p>-1+\sqrt2 $$

である。このとき

$$ q=p^2+2p-1=(p+1)^2-2 $$

となる。

以上より，

$$ f(p)= \begin{cases} p^2+2p-1 & \left(p<-1-\sqrt2 \ \text{または}\ p>-1+\sqrt2\right),\\ 0 & \left(-1-\sqrt2\le p\le -2 \ \text{または}\ 0\le p\le -1+\sqrt2\right),\\ -p^2-2p & (-2\le p\le 0) \end{cases} $$

である。

したがって $q=f(p)$ のグラフは，$pq$ 平面上で次の 5 つをつないだものになる。

• $p<-1-\sqrt2$ および $p>-1+\sqrt2$ では，上に開く放物線 $q=(p+1)^2-2$
• $-1-\sqrt2\le p\le -2$ および $0\le p\le -1+\sqrt2$ では，$p$ 軸上の線分 $q=0$
• $-2\le p\le 0$ では，下に開く放物線 $q=1-(p+1)^2$

特に，主要な点は

$$ (-1,1),\quad (-2,0),\quad (0,0),\quad (-1-\sqrt2,0),\quad (-1+\sqrt2,0) $$

であり，軸は $p=-1$ である。

つぎに （2） を求める。

$q=2$ との交点は，$q=0$ や $q=1-(p+1)^2$ では生じないので，

$$ (p+1)^2-2=2 $$

を解けばよい。よって

$$ (p+1)^2=4 $$

より，

$$ p=-3,\ 1 $$

である。

したがって求める面積 $S$ は，$p=-3$ から $p=1$ までの間で $q=2$ と $q=f(p)$ の差を積分すればよい。

ここで軸 $p=-1$ に関して対称であるから，$u=p+1$ とおくと，

$$ u\in[-2,2] $$

となり，左右対称性を用いて

$$ S=2\left\{\int_0^1 \bigl(2-(1-u^2)\bigr),du+\int_1^{\sqrt2} 2,du+\int_{\sqrt2}^2 \bigl(2-(u^2-2)\bigr),du\right\} $$

となる。すなわち

$$ S=2\left\{\int_0^1 (1+u^2),du+\int_1^{\sqrt2} 2,du+\int_{\sqrt2}^2 (4-u^2),du\right\}. $$

各積分を計算すると，

$$ \int_0^1 (1+u^2),du =\left[u+\frac{u^3}{3}\right]_0^1 =\frac{4}{3}, $$

$$ \int_1^{\sqrt2} 2,du =2(\sqrt2-1), $$

$$ \int_{\sqrt2}^2 (4-u^2),du =\left[4u-\frac{u^3}{3}\right]_{\sqrt2}^2 =\frac{16}{3}-\frac{10\sqrt2}{3}. $$

したがって

$$ S =2\left(\frac{4}{3}+2(\sqrt2-1)+\frac{16}{3}-\frac{10\sqrt2}{3}\right) =2\left(\frac{14-4\sqrt2}{3}\right) =\frac{28-8\sqrt2}{3}. $$

解説

この問題の本質は，$q$ を「$p^2+2p$ と区間 $[0,1]$ の距離」と見抜くことである。これにより，$x$ について最小値を直接計算する必要がなくなる。

また，$p^2+2p=(p+1)^2-1$ であるから，グラフ全体が直線 $p=-1$ に関して対称になる。この対称性を使うと，面積計算がかなり簡潔になる。

答え

**(1)**

$$ f(p)= \begin{cases} p^2+2p-1 & \left(p<-1-\sqrt2 \ \text{または}\ p>-1+\sqrt2\right),\\ 0 & \left(-1-\sqrt2\le p\le -2 \ \text{または}\ 0\le p\le -1+\sqrt2\right),\\ -p^2-2p & (-2\le p\le 0) \end{cases} $$

である。したがって，$q=(p+1)^2-2$ の外側部分，$q=0$ の 2 本の線分，$q=1-(p+1)^2$ の中央部分をつないだグラフである。

**(2)**

$$ \frac{28-8\sqrt2}{3} $$

である。