解説

方針・初手

2つの放物線の交点は，まず方程式

$$ x^2-ax+1=-x^2+(a+4)x-3a+1 $$

を解けば求まる。

その交点の $x$ 座標を $\alpha,\beta$ とすると，面積は2つの放物線の差

$$ {-x^2+(a+4)x-3a+1}-(x^2-ax+1) $$

を $\alpha$ から $\beta$ まで積分すればよい。

最後に，得られた $S(a)$ を最小にするには，根号の中の2次式の最小値を調べれば足りる。

解法1

2つの放物線の交点の $x$ 座標は

$$ x^2-ax+1=-x^2+(a+4)x-3a+1 $$

より

$$ 2x^2-(2a+4)x+3a=0 $$

すなわち

$$ x^2-(a+2)x+\frac{3a}{2}=0 $$

の解である。

したがって，解と係数の関係から

$$ \alpha+\beta=a+2,\qquad \alpha\beta=\frac{3a}{2} $$

である。

また，判別式は

$$ (a+2)^2-4\cdot \frac{3a}{2}=a^2-2a+4=(a-1)^2+3>0 $$

となるので，たしかに常に異なる2点で交わる。

次に，2つの放物線の差をとると

$$ {-x^2+(a+4)x-3a+1}-(x^2-ax+1) =-2x^2+(2a+4)x-3a $$

である。

これを平方完成すると

$$ -2x^2+(2a+4)x-3a =-2\left(x-\frac{a+2}{2}\right)^2+\frac{a^2-2a+4}{2} $$

となる。

よって，囲まれる部分の面積 $S(a)$ は

$$ S(a)=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{-2\left(x-\frac{a+2}{2}\right)^2+\frac{a^2-2a+4}{2}\right\}dx $$

である。

ここで

$$ \beta-\alpha=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta} =\sqrt{(a+2)^2-6a} =\sqrt{a^2-2a+4} $$

であり，交点の中点は

$$ \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{a+2}{2} $$

であるから，

$$ \alpha=\frac{a+2-\sqrt{a^2-2a+4}}{2},\qquad \beta=\frac{a+2+\sqrt{a^2-2a+4}}{2} $$

となる。

そこで

$$ t=x-\frac{a+2}{2} $$

とおくと，積分区間は

$$ -\frac{\sqrt{a^2-2a+4}}{2}\le t\le \frac{\sqrt{a^2-2a+4}}{2} $$

となるので，

$$ S(a)=\int_{-\frac{\sqrt{a^2-2a+4}}{2}}^{\frac{\sqrt{a^2-2a+4}}{2}} \left(-2t^2+\frac{a^2-2a+4}{2}\right)dt $$

である。

被積分関数は偶関数であるから，

$$ S(a)=2\int_0^{\frac{\sqrt{a^2-2a+4}}{2}} \left(-2t^2+\frac{a^2-2a+4}{2}\right)dt $$

となる。これを計算すると，

$$ \begin{aligned} S(a) &=2\left[-\frac{2}{3}t^3+\frac{a^2-2a+4}{2}t\right]_0^{\frac{\sqrt{a^2-2a+4}}{2}} \\ &=2\left( -\frac{2}{3}\cdot \frac{(a^2-2a+4)^{3/2}}{8} +\frac{a^2-2a+4}{2}\cdot \frac{\sqrt{a^2-2a+4}}{2} \right) \\ &=2\left( -\frac{(a^2-2a+4)^{3/2}}{12} +\frac{(a^2-2a+4)^{3/2}}{4} \right) \\ &=\frac{(a^2-2a+4)^{3/2}}{3} \end{aligned} $$

したがって

$$ S(a)=\frac{(a^2-2a+4)^{3/2}}{3} $$

である。

最後に，$a>0$ のもとで $S(a)$ の最小値を求める。

$S(a)$ は $(a^2-2a+4)^{3/2}$ に比例し，$x^{3/2}$ は $x>0$ で単調増加であるから，$a^2-2a+4$ を最小にすればよい。

$$ a^2-2a+4=(a-1)^2+3 $$

より，最小値は $a=1$ のときの $3$ である。

したがって

$$ S_{\min}=\frac{3^{3/2}}{3}=\sqrt{3} $$

である。

解説

この問題の要点は，交点の情報をまず2次方程式に落として整理することである。

（1） では解と係数の関係を使うのが最短である。

（2） では2つの式の差をとると2次式になり，そのグラフは下に凸の放物線になる。交点の中点を中心に平方完成してから積分すると，計算が対称になって簡潔にまとまる。

（3） では面積の式そのものを微分してもよいが，$x^{3/2}$ の単調増加性を使えば，中の2次式 $(a-1)^2+3$ の最小値を見るだけで済む。

答え

**(1)**

$$ \alpha+\beta=a+2,\qquad \alpha\beta=\frac{3a}{2} $$

**(2)**

$$ S(a)=\frac{(a^2-2a+4)^{3/2}}{3} $$

**(3)**

$$ S(a)\text{ の最小値は }\sqrt{3} $$

そのとき

$$ a=1 $$