解説

方針・初手

$|3x|=3|x|$ であるから、まず曲線を $x<0$ と $x\ge 0$ に分けて表す。

すると直線 $y=mx+4$ との差がどちらも因数分解でき、交点の位置と囲まれる面積を $m$ の範囲ごとに整理できる。面積は「左側だけ」「左右両方」「右側だけ」に分かれるので、場合分けして最小値を調べる。

解法1

与えられた曲線は

$$ y=x^2+x+4-3|x| $$

であるから、

$$ y= \begin{cases} x^2+4x+4 & (x<0),\\ x^2-2x+4 & (x\ge 0) \end{cases} $$

と書ける。

直線 $y=mx+4$ との差を考えると、

$$ \begin{cases} x^2+4x+4-(mx+4)=x(x+4-m) & (x<0),\\ x^2-2x+4-(mx+4)=x(x-m-2) & (x\ge 0) \end{cases} $$

となる。

したがって交点の $x$ 座標は、左側では $x=0,\ m-4$、右側では $x=0,\ m+2$ である。

（i） $m\le -2$ のとき

右側の交点 $x=m+2$ は $0$ 以下であるから、右側では $x=0$ のみが交点である。よって左側だけに囲まれる部分ができ、その面積 $S(m)$ は

$$ S(m)=\int_{m-4}^{0}{mx+4-(x^2+4x+4)},dx =\int_{m-4}^{0}-x(x+4-m),dx $$

である。

ここで $a=4-m$ とおくと積分区間は $[-a,0]$ なので、

$$ S(m)=\int_{-a}^{0}-x(x+a),dx=\frac{a^3}{6}=\frac{(4-m)^3}{6} $$

となる。

（ii） $-2\le m\le 4$ のとき

このとき左側にも右側にも囲まれる部分ができる。したがって全体の面積は

$$ \begin{aligned} S(m) &=\int_{m-4}^{0}{mx+4-(x^2+4x+4)},dx +\int_{0}^{m+2}{mx+4-(x^2-2x+4)},dx \\ &=\int_{m-4}^{0}-x(x+4-m),dx+\int_{0}^{m+2}x(m+2-x),dx \\ &=\frac{(4-m)^3}{6}+\frac{(m+2)^3}{6} \end{aligned} $$

である。

これを微分すると、

$$ \begin{aligned} S'(m) &=\frac{-3(4-m)^2+3(m+2)^2}{6} \\ &=\frac{(m+2)^2-(4-m)^2}{2} \\ &=6(m-1) \end{aligned} $$

となる。また、

$$ S''(m)=6>0 $$

であるから、この範囲では $m=1$ のとき $S(m)$ は最小になる。

そのときの面積は

$$ S(1)=\frac{3^3+3^3}{6}=9 $$

である。

（iii） $m\ge 4$ のとき

今度は左側では $x=0$ のみが交点であり、右側だけに囲まれる部分ができる。面積は

$$ S(m)=\int_{0}^{m+2}{mx+4-(x^2-2x+4)},dx =\int_{0}^{m+2}x(m+2-x),dx =\frac{(m+2)^3}{6} $$

となる。

以上より、

$$ S(m)= \begin{cases} \dfrac{(4-m)^3}{6} & (m\le -2),\\[2mm] \dfrac{(4-m)^3+(m+2)^3}{6} & (-2\le m\le 4),\\[2mm] \dfrac{(m+2)^3}{6} & (m\ge 4) \end{cases} $$

である。

ここで、

• $m\le -2$ では $\dfrac{(4-m)^3}{6}$ は $m$ の増加とともに減少するので最小は $m=-2$ のとき
• $m\ge 4$ では $\dfrac{(m+2)^3}{6}$ は $m$ の増加とともに増加するので最小は $m=4$ のとき

である。

実際、

$$ S(-2)=\frac{6^3}{6}=36,\qquad S(4)=\frac{6^3}{6}=36 $$

であり、中央の範囲で得られた最小値 $S(1)=9$ の方が小さい。

したがって、全体で面積が最小となるのは

$$ m=1 $$

のときである。

解説

絶対値を含む関数は、まず場合分けしてグラフの形を明確にするのが基本である。この問題では、直線との差がそれぞれ

$$ x(x+4-m),\qquad x(x-m-2) $$

となるため、交点がすぐ求まる。

注意すべき点は、$m$ の値によって囲まれる部分の個数が変わることである。特に $-2\le m\le 4$ では左右に 2 つの部分ができるので、その両方の面積を足さなければならない。ここを正しく場合分けできるかどうかが要点である。

答え

面積が最小となるような定数 $m$ は

$$ m=1 $$

である。