解説

方針・初手

3つの曲線はいずれも原点を通る。交点を調べると、囲まれる部分は

• 原点から直線 $y=mx$
• そこから放物線 $y=x^2-x$
• さらに直線 $y=nx$

で1周する図形になる。

したがって、まず放物線と各直線の交点の $x$ 座標を求め、面積を区間ごとに積分して表す。

解法1

放物線 $y=x^2-x$ と直線 $y=mx$ の交点は

$$ x^2-x=mx $$

より

$$ x^2-(m+1)x=0 $$

すなわち

$$ x=0,\ m+1 $$

である。

同様に、放物線 $y=x^2-x$ と直線 $y=nx$ の交点は

$$ x=0,\ n+1 $$

である。

ここで $m>n>0$ だから

$$ m+1>n+1>0 $$

であり、囲まれる図形の面積 $S$ は

• $0\le x\le n+1$ では上が $y=mx$、下が $y=nx$
• $n+1\le x\le m+1$ では上が $y=mx$、下が $y=x^2-x$

となる。

よって

$$ S=\int_0^{n+1}(mx-nx),dx+\int_{n+1}^{m+1}{mx-(x^2-x)},dx $$

である。

第1項は

$$ \int_0^{n+1}(m-n)x,dx =\frac{(m-n)(n+1)^2}{2} $$

第2項は

$$ \int_{n+1}^{m+1}\bigl((m+1)x-x^2\bigr),dx $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S &=\frac{(m-n)(n+1)^2}{2} +\left[\frac{m+1}{2}x^2-\frac13x^3\right]_{n+1}^{m+1} \\ &=\frac{(m-n)(n+1)^2}{2} +\frac{(m+1)^3}{6} -\left(\frac{m+1}{2}(n+1)^2-\frac13(n+1)^3\right). \end{aligned} $$

これを整理すると

$$ S=\frac{(m+1)^3-(n+1)^3}{6} $$

となる。

問題の条件より $S=\dfrac{37}{6}$ なので、

$$ (m+1)^3-(n+1)^3=37 $$

を満たす整数 $m,n$ を求めればよい。

ここで

$$ (m+1)^3-(n+1)^3 =\bigl((m+1)-(n+1)\bigr)\bigl((m+1)^2+(m+1)(n+1)+(n+1)^2\bigr) $$

であり、

$$ 37 $$

は素数であるから、

$$ (m+1)-(n+1)=1 $$

でなければならない。すなわち

$$ m-n=1 $$

である。

そこで $m=n+1$ として代入すると

$$ (n+2)^3-(n+1)^3=37 $$

であるから、

$$ 3(n+1)^2+3(n+1)+1=37 $$

すなわち

$$ 3n^2+9n+7=37 $$

より

$$ 3n^2+9n-30=0 $$

$$ n^2+3n-10=0 $$

$$ (n-2)(n+5)=0 $$

したがって $n>0$ より

$$ n=2 $$

であり、

$$ m=n+1=3 $$

となる。

解説

この問題の要点は、囲まれる図形の境界が区間によって変わることを正確に押さえることである。

放物線は $x=n+1$ までは直線 $y=nx$ より下にあり、$x=n+1$ を過ぎると直線 $y=nx$ より上にくる。そのため、面積を1本の積分で雑に処理すると境界を取り違えやすい。

計算後に

$$ S=\frac{(m+1)^3-(n+1)^3}{6} $$

というきれいな形にまとまるので、最後は立方差の因数分解と $37$ が素数であることを使えば一気に絞れる。

答え

$$ m=3,\quad n=2 $$