解説

方針・初手

$x=1$ で極値 $13$ をとるという条件から、まず

$$ f(1)=13,\qquad f'(1)=0 $$

を用いて $a,b$ を決める。

その後、$f'(x)$ を因数分解して極値を調べる。

また、直線 $l$ が曲線 $y=f(x)$ に異なる $2$ 点で接するなら、$f(x)-l$ はその $2$ 点を重解にもつので、四次式を

$$ (x-p)^2(x-q)^2 $$

の形で表して係数比較を行えばよい。

解法1

まず

$$ f(x)=x^4+ax^2+bx+12 $$

であるから、

$$ f(1)=1+a+b+12=13 $$

より

$$ a+b=0 $$

を得る。

さらに

$$ f'(x)=4x^3+2ax+b $$

であり、$x=1$ で極値をとるから

$$ f'(1)=4+2a+b=0 $$

である。これと $a+b=0$ を連立すると

$$ a=-4,\qquad b=4 $$

となる。

したがって

$$ f(x)=x^4-4x^2+4x+12 $$

である。

（1） 極値の位置と値

$f'(x)$ を求めると

$$ f'(x)=4x^3-8x+4=4(x^3-2x+1) $$

である。ここで

$$ x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1) $$

より

$$ f'(x)=4(x-1)(x^2+x-1) $$

となる。

よって $f'(x)=0$ の解は

$$ x=1,\qquad x=\frac{-1-\sqrt5}{2},\qquad x=\frac{-1+\sqrt5}{2} $$

である。

このうち

$$ \frac{-1-\sqrt5}{2}<\frac{-1+\sqrt5}{2}<1 $$

であり、$f'(x)$ の符号変化を見ると、

• $x=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ で極小
• $x=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ で極大
• $x=1$ で極小

となる。

次に、それぞれの極値を求める。

$x^2+x-1=0$ を満たす $x$ については

$$ x^2=1-x $$

であるから、

$$ x^3=x(1-x)=x-x^2=x-(1-x)=2x-1 $$

さらに

$$ x^4=(x^2)^2=(1-x)^2=1-2x+x^2=1-2x+(1-x)=2-3x $$

となる。したがって

$$ f(x)=x^4-4x^2+4x+12=(2-3x)-4(1-x)+4x+12=10+5x $$

である。

よって

$$ f\left(\frac{-1-\sqrt5}{2}\right)=10+5\cdot \frac{-1-\sqrt5}{2} =\frac{15-5\sqrt5}{2} $$

$$ f\left(\frac{-1+\sqrt5}{2}\right)=10+5\cdot \frac{-1+\sqrt5}{2} =\frac{15+5\sqrt5}{2} $$

となる。

したがって、$x=1$ 以外では

$$ x=\frac{-1-\sqrt5}{2}\ \text{で極小値}\ \frac{15-5\sqrt5}{2}, \qquad x=\frac{-1+\sqrt5}{2}\ \text{で極大値}\ \frac{15+5\sqrt5}{2} $$

をとる。

（2） 異なる $2$ 点で接する直線

直線 $l$ を

$$ y=mx+n $$

とする。

この直線が曲線 $y=f(x)$ に異なる $2$ 点 $x=p,q$ で接するなら、

$$ f(x)-(mx+n) $$

は $x=p,q$ を重解にもつ。しかも先頭係数は $1$ なので、

$$ f(x)-(mx+n)=(x-p)^2(x-q)^2 $$

と書ける。

左辺を展開すると

$$ f(x)-(mx+n)=x^4-4x^2+(4-m)x+(12-n) $$

であり、右辺は

$$ (x-p)^2(x-q)^2=\left(x^2-(p+q)x+pq\right)^2 $$

である。

左辺には $x^3$ の項がないので、右辺の $x^3$ の係数も $0$ でなければならない。よって

$$ p+q=0 $$

である。

したがって $q=-p$ とおけて、

$$ (x-p)^2(x+ p)^2=(x^2-p^2)^2=x^4-2p^2x^2+p^4 $$

となる。

これを

$$ x^4-4x^2+(4-m)x+(12-n) $$

と係数比較すると、

$$ -2p^2=-4,\qquad 4-m=0,\qquad p^4=12-n $$

より

$$ p^2=2,\qquad m=4,\qquad n=8 $$

を得る。

したがって

$$ l:\ y=4x+8 $$

であり、接点の $x$ 座標は

$$ x=\pm \sqrt2 $$

である。

次に面積を求める。

$$ f(x)-(4x+8)=x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2 $$

であるから、囲まれた部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\left\{f(x)-(4x+8)\right\},dx =\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(x^2-2)^2,dx $$

である。

偶関数なので

$$ S=2\int_0^{\sqrt2}(x^4-4x^2+4),dx $$

$$ =2\left[\frac{x^5}{5}-\frac{4x^3}{3}+4x\right]_0^{\sqrt2} $$

$$ =2\left(\frac{4\sqrt2}{5}-\frac{8\sqrt2}{3}+4\sqrt2\right) =2\cdot \frac{32\sqrt2}{15} =\frac{64\sqrt2}{15} $$

となる。

解説

この問題の要点は、極値条件を

$$ f(1)=13,\qquad f'(1)=0 $$

の $2$ 本に分けて処理することである。

また、**異なる $2$ 点で接する直線**という条件は、単に共有点が $2$ つあるという意味ではなく、各接点で重解になることを意味する。したがって

$$ f(x)-(\text{直線})=(x-p)^2(x-q)^2 $$

と置くのが本筋である。ここで四次式に三次の項がないことから $p+q=0$ が出るのが決定打である。

答え

**(1)**

$$ a=-4,\qquad b=4 $$

$$ x=\frac{-1-\sqrt5}{2}\ \text{で極小値}\ \frac{15-5\sqrt5}{2} $$

$$ x=\frac{-1+\sqrt5}{2}\ \text{で極大値}\ \frac{15+5\sqrt5}{2} $$

**(2)**

$$ l:\ y=4x+8 $$

接点の $x$ 座標は

$$ -\sqrt2,\ \sqrt2 $$

囲まれた部分の面積は

$$ \frac{64\sqrt2}{15} $$