解説

方針・初手

まず $x=1$ で極値 $13$ をとるという条件から、$f(1)=13$ と $f'(1)=0$ を用いて $a,b$ を決定する。

その後、導関数を因数分解して極値を調べる。

（2） では、同じ直線が異なる2点で接するので、その直線を $y=mx+n$ とおくと

$$ f(x)-(mx+n) $$

は異なる2つの重解をもつ4次式になる。したがって平方の形にできることを用いる。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=x^4+ax^2+bx+12 $$

である。

$x=1$ で極値 $13$ をとるから、

$$ f(1)=13,\qquad f'(1)=0 $$

が成り立つ。

まず

$$ f(1)=1+a+b+12=13 $$

より、

$$ a+b=0 $$

である。

また、

$$ f'(x)=4x^3+2ax+b $$

であるから、

$$ f'(1)=4+2a+b=0 $$

となる。ここで $b=-a$ を代入すると

$$ 4+a=0 $$

より、

$$ a=-4,\qquad b=4 $$

である。

したがって

$$ f(x)=x^4-4x^2+4x+12 $$

となる。

（1） 極値

導関数は

$$ f'(x)=4x^3-8x+4=4(x^3-2x+1) $$

であり、

$$ x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1) $$

だから

$$ f'(x)=4(x-1)(x^2+x-1) $$

となる。

よって $f'(x)=0$ の解は

$$ x=1,\qquad x=\frac{-1-\sqrt5}{2},\qquad x=\frac{-1+\sqrt5}{2} $$

である。

これらを小さい順に並べると

$$ \frac{-1-\sqrt5}{2}<\frac{-1+\sqrt5}{2}<1 $$

である。$f'(x)$ の符号をみると、

• $x=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ では $f'(x)$ が負から正に変わるので極小
• $x=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ では $f'(x)$ が正から負に変わるので極大
• $x=1$ では $f'(x)$ が負から正に変わるので極小

である。

次に、それぞれの値を求める。

$x^2+x-1=0$ を満たす点では

$$ x^2=1-x $$

であるから、

$$ x^4=(x^2)^2=(1-x)^2=1-2x+x^2=1-2x+(1-x)=2-3x $$

となる。したがって

$$ f(x)=x^4-4x^2+4x+12 $$

に $x^2=1-x,\ x^4=2-3x$ を代入すると

$$ f(x)=(2-3x)-4(1-x)+4x+12=10+5x $$

となる。

よって、$x=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ では

$$ f\left(\frac{-1-\sqrt5}{2}\right)=10+5\cdot\frac{-1-\sqrt5}{2} =\frac{15-5\sqrt5}{2} $$

であり、$x=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ では

$$ f\left(\frac{-1+\sqrt5}{2}\right)=10+5\cdot\frac{-1+\sqrt5}{2} =\frac{15+5\sqrt5}{2} $$

である。

したがって、$x=1$ 以外では

$$ x=\frac{-1-\sqrt5}{2} $$

で極小値

$$ \frac{15-5\sqrt5}{2} $$

をとり、

$$ x=\frac{-1+\sqrt5}{2} $$

で極大値

$$ \frac{15+5\sqrt5}{2} $$

をとる。

（2） 2点で接する直線

直線 $l$ を

$$ y=mx+n $$

とする。

$l$ が曲線 $y=f(x)$ に異なる2点 $x=p,q$ で接するなら、

$$ f(x)-(mx+n) $$

は $x=p,q$ を重解にもつ。4次式で最高次係数は $1$ であるから、

$$ f(x)-(mx+n)=(x-p)^2(x-q)^2 $$

と表せる。

左辺を整理すると

$$ f(x)-(mx+n)=x^4-4x^2+(4-m)x+(12-n) $$

である。

一方、右辺を展開すると

$$ (x-p)^2(x-q)^2 $$

の $x^3$ の係数は $-2(p+q)$ である。左辺には $x^3$ の項がないので

$$ p+q=0 $$

となる。よって $q=-p$ とおけて、

$$ (x-p)^2(x+ p)^2=(x^2-p^2)^2=x^4-2p^2x^2+p^4 $$

となる。

これを

$$ x^4-4x^2+(4-m)x+(12-n) $$

と比較すると、

$$ -2p^2=-4,\qquad 4-m=0,\qquad p^4=12-n $$

を得る。

したがって

$$ p^2=2,\qquad m=4,\qquad n=8 $$

である。

ゆえに直線 $l$ は

$$ y=4x+8 $$

であり、接点の $x$ 座標は

$$ x=\pm\sqrt2 $$

である。

さらに、

$$ f(x)-(4x+8)=x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2 $$

となるので、囲まれた部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(x^2-2)^2,dx $$

である。偶関数なので

$$ S=2\int_0^{\sqrt2}(x^4-4x^2+4),dx $$

となり、

$$ S=2\left[\frac{x^5}{5}-\frac{4x^3}{3}+4x\right]_0^{\sqrt2} $$

である。

ここで

$$ (\sqrt2)^3=2\sqrt2,\qquad (\sqrt2)^5=4\sqrt2 $$

より、

$$ S=2\left(\frac{4\sqrt2}{5}-\frac{8\sqrt2}{3}+4\sqrt2\right) =2\sqrt2\left(\frac45-\frac83+4\right) =2\sqrt2\cdot\frac{32}{15} =\frac{64\sqrt2}{15} $$

である。

解説

この問題の要点は2つである。

1つ目は、極値の条件から

$$ f(1)=13,\qquad f'(1)=0 $$

を同時に使うことで $a,b$ が一意に定まることである。

2つ目は、同一直線が2点で接するという条件を、単に「傾きが等しい」として処理するのではなく、

$$ f(x)-(mx+n) $$

が異なる2つの重解をもつ4次式であるとみることである。これにより平方の形に落ち、係数比較だけで直線の式と接点が求まる。

答え

**(1)**

$$ a=-4,\qquad b=4 $$

$x=1$ 以外では、

$$ x=\frac{-1-\sqrt5}{2} $$

で極小値

$$ \frac{15-5\sqrt5}{2} $$

をとり、

$$ x=\frac{-1+\sqrt5}{2} $$

で極大値

$$ \frac{15+5\sqrt5}{2} $$

をとる。

したがって

$$ \text{ア}=-4,\quad \text{イ}=4,\quad \text{ウ}=\frac{-1-\sqrt5}{2},\quad \text{エ}=\frac{15-5\sqrt5}{2},\quad \text{オ}=\frac{-1+\sqrt5}{2},\quad \text{カ}=\frac{15+5\sqrt5}{2} $$

である。

**(2)**

直線 $l$ は

$$ y=4x+8 $$

接点の $x$ 座標は

$$ -\sqrt2,\ \sqrt2 $$

囲まれた部分の面積は

$$ \frac{64\sqrt2}{15} $$

である。

したがって

$$ \text{キ}=4x+8,\quad \text{ク}=-\sqrt2,\quad \text{ケ}=\sqrt2,\quad \text{コ}=\frac{64\sqrt2}{15} $$

である。