解説

方針・初手

点 $A(1,3)$ を通り，しかも点 $A$ で直線 $l:y=2x+1$ に接するので，

• $f(1)=3$
• $f'(1)=2$

が成り立つ。これにより $b,c$ を決定できる。

そのうえで，直線との差 $f(x)-(2x+1)$ を調べると，点 $A$ で接することから $(x-1)^2$ を因数にもつ。これを用いて共有点 $B$，囲まれた面積 $S_1$，さらに三角形 $PAB$ の面積の最大値 $S_2$ を順に求める。

解法1

まず

$$ f(x)=x^3-(a+2)x^2+(2a+b)x-a+c $$

より，

$$ f(1)=1-(a+2)+(2a+b)-a+c=b+c-1 $$

である。点 $A(1,3)$ を通るから

$$ b+c-1=3 $$

すなわち

$$ b+c=4 $$

となる。

次に，

$$ f'(x)=3x^2-2(a+2)x+(2a+b) $$

であるから，

$$ f'(1)=3-2(a+2)+(2a+b)=b-1 $$

となる。点 $A$ における接線が $y=2x+1$ であり，その傾きは $2$ であるから

$$ b-1=2 $$

よって

$$ b=3 $$

さらに $b+c=4$ より

$$ c=1 $$

である。

したがって，

$$ f(x)=x^3-(a+2)x^2+(2a+3)x-a+1 $$

となる。

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曲線 $C$ と直線 $l$ の差をとると，

$$ f(x)-(2x+1) =x^3-(a+2)x^2+(2a+1)x-a $$

である。

点 $A$ で接するので，$x=1$ はこの式の重解である。実際に因数分解すると，

$$ f(x)-(2x+1)=(x-1)^2(x-a) $$

となる。

したがって，共有点の $x$ 座標は

$$ x=1,\ a $$

である。点 $A$ と異なる共有点を $B$ とすると，

$$ B=(a,,2a+1) $$

である。

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次に，曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた部分の面積 $S_1$ を求める。

$a<1$ であり，区間 $a\le x\le 1$ では

$$ (x-1)^2\ge 0,\qquad x-a\ge 0 $$

だから

$$ f(x)-(2x+1)=(x-1)^2(x-a)\ge 0 $$

である。よって面積は

$$ S_1=\int_a^1 {f(x)-(2x+1)},dx =\int_a^1 (x-1)^2(x-a),dx $$

で与えられる。

ここで $d=1-a$ とおき，$u=x-1$ と変数変換すると， $x=a$ のとき $u=a-1=-d$，$x=1$ のとき $u=0$ であるから，

$$ S_1=\int_{-d}^0 u^2(u+d),du =\int_{-d}^0 (u^3+du^2),du $$

したがって，

$$ S_1= \left[\frac{u^4}{4}+\frac{du^3}{3}\right]_{-d}^0 =0-\left(\frac{d^4}{4}-\frac{d^4}{3}\right) =\frac{d^4}{12} $$

ゆえに

$$ S_1=\frac{(1-a)^4}{12} $$

である。

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最後に，$a<x<1$ を動く点 $P(x,f(x))$ に対し，三角形 $PAB$ の面積を考える。

点 $A,B$ はともに直線 $l:y=2x+1$ 上にあるので，三角形 $PAB$ の面積は

$$ \frac12 \times AB \times (\text{点 }P\text{ から直線 }l\text{ までの距離}) $$

である。

まず，

$$ A=(1,3),\qquad B=(a,2a+1) $$

より，

$$ AB=\sqrt{(1-a)^2+{3-(2a+1)}^2} =\sqrt{(1-a)^2+4(1-a)^2} =\sqrt5,(1-a) $$

である。

また，直線 $l:y=2x+1$ を

$$ 2x-y+1=0 $$

とみると，点 $P(x,f(x))$ から $l$ までの距離は

$$ \frac{|2x-f(x)+1|}{\sqrt5} =\frac{f(x)-(2x+1)}{\sqrt5} =\frac{(x-1)^2(x-a)}{\sqrt5} $$

となる。ここで区間 $a<x<1$ では $f(x)\ge 2x+1$ を用いた。

したがって三角形 $PAB$ の面積を $S(x)$ とすると，

$$ S(x) =\frac12\cdot \sqrt5(1-a)\cdot \frac{(x-1)^2(x-a)}{\sqrt5} =\frac{1-a}{2}(x-1)^2(x-a) $$

である。

よって，$S(x)$ を最大にするには

$$ (x-1)^2(x-a) $$

を最大にすればよい。

ここで $d=1-a$，$u=x-a$ とおくと，$0<u<d$ で

$$ (x-1)^2(x-a)=(d-u)^2u $$

となる。そこで

$$ \phi(u)=u(d-u)^2 $$

とおくと，

$$ \phi'(u)=(d-u)^2-2u(d-u)=(d-u)(d-3u) $$

である。$0<u<d$ において極値を与えるのは

$$ u=\frac d3 $$

のときであり，そのとき

$$ \phi\left(\frac d3\right) =\frac d3\left(d-\frac d3\right)^2 =\frac d3\left(\frac{2d}{3}\right)^2 =\frac{4d^3}{27} $$

となる。

したがって

$$ S_2=\frac{1-a}{2}\cdot \frac{4(1-a)^3}{27} =\frac{2(1-a)^4}{27} $$

である。

よって，

$$ \begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= \frac{\frac{2(1-a)^4}{27}}{\frac{(1-a)^4}{12}} \\ \frac{8}{9} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は，接線条件を「$f(1)=3,\ f'(1)=2$」に直すことである。これにより係数が決まり，さらに

$$ f(x)-(2x+1) $$

が $(x-1)^2$ を因数にもつことから，共有点や面積の計算が一気に整理される。

（3） では「曲線と直線の面積」は差 $f(x)-(2x+1)$ の積分であること，（4） では「三角形の面積」は「底辺 $AB$ × 点 $P$ から直線 $AB$ までの距離」で処理するのが自然である。とくに $A,B$ がともに接線上にあることを利用すると，面積が $(x-1)^2(x-a)$ の最大化に帰着し，計算が単純になる。

答え

**(1)**

$$ b=3,\qquad c=1 $$

**(2)**

$$ B=(a,\ 2a+1) $$

**(3)**

$$ S_1=\frac{(1-a)^4}{12} $$

**(4)**

$$ S_2=\frac{2(1-a)^4}{27} $$

したがって，

$$ \frac{S_2}{S_1}=\frac89 $$