解説

方針・初手

共通接線を直接 $y=mx+n$ とおいて判別式で処理してもよいが、ここでは各放物線の接線を「接点」で表す。

$C_1:y=x^2$ の接線は接点の $x$ 座標を用いて簡潔に書ける。また、$C_2:y=x^2-4ax+4a^2=(x-2a)^2$ は $C_1$ を $x$ 方向に $2a$ だけ平行移動したものであるから、こちらも同様に接線を表せる。両者が同一の直線になる条件を比べればよい。

解法1

（1） 共通接線 $l$ の方程式を求める。

$C_1:y=x^2$ 上の $x=t$ における接線は

$$ y=2tx-t^2 $$

である。

一方、$C_2:y=(x-2a)^2$ において、$x-2a=u$ とおけば $y=u^2$ であるから、$u$ に対応する接線は

$$ y=2u(x-2a)-u^2=2ux-4au-u^2 $$

となる。

この2本の接線が同一の直線であるためには、傾きと切片が一致するので

$$ 2t=2u,\qquad -t^2=-4au-u^2 $$

が成り立つ。

前式より

$$ t=u $$

であるから、これを後式に代入すると

$$ -t^2=-4at-t^2 $$

となり、

$$ 4at=0 $$

を得る。ここで $a>0$ なので

$$ t=0 $$

である。したがって共通接線は

$$ y=2\cdot 0\cdot x-0^2=0 $$

である。

よって、

$$ l:\ y=0 $$

である。

**(2)**

$C_1,C_2,l$ で囲まれた図形の面積を求める。

まず、$C_1$ と $C_2$ の交点を求める。

$$ x^2=x^2-4ax+4a^2 $$

より

$$ 4a(a-x)=0 $$

であり、$a>0$ だから

$$ x=a $$

である。このとき

$$ y=a^2 $$

であるから、2放物線の交点は $(a,a^2)$ である。

また、

$$ C_2-C_1=(x^2-4ax+4a^2)-x^2=4a(a-x) $$

より、（i） $0\le x\le a$ では $C_2\ge C_1$、（ii） $a\le x\le 2a$ では $C_2\le C_1$ である。

したがって、求める図形は、下側が直線 $y=0$、上側が

• $0\le x\le a$ では $y=x^2$
• $a\le x\le 2a$ では $y=(x-2a)^2$

で与えられる。

よって面積 $S$ は

$$ S=\int_0^a x^2,dx+\int_a^{2a}(x-2a)^2,dx $$

である。

前半は

$$ \int_0^a x^2,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^a=\frac{a^3}{3} $$

後半は $u=x-2a$ とおくと

$$ \int_a^{2a}(x-2a)^2,dx=\int_{-a}^0 u^2,du =\left[\frac{u^3}{3}\right]_{-a}^0 =\frac{a^3}{3} $$

となるので、

$$ S=\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3}=\frac{2a^3}{3} $$

である。

解説

この問題の本質は、$C_2$ が $C_1$ を $x$ 方向に平行移動した放物線だという点にある。したがって、接線も対応して平行移動される。

共通接線を探すとき、各放物線の接線を接点で表して係数比較をすると、傾きが一致するだけでは足りず、切片まで一致しなければならない。その条件から接点が原点側に限られ、共通接線が $x$ 軸ただ1本であることが分かる。

面積は、2つの放物線のうち下側に来るほうを区間ごとに積分すればよい。交点 $x=a$ で区切るのが自然である。

答え

**(1)**

共通接線 $l$ は

$$ y=0 $$

である。

**(2)**

$C_1,C_2,l$ で囲まれた図形の面積は

$$ \frac{2a^3}{3} $$

である。