解説

方針・初手

囲まれる部分は、$x=0$ では $C_1$ が下、$x=1$ では $C_2$ が下にあるので、まず $C_1,\ C_2$ の交点を求め、区間をそこで分けて面積を積分すればよい。

最後の最大値は、求めた $S(a)$ を $a$ の関数とみて調べる。

解法1

$C_1,\ C_2$ の交点の $x$ 座標を $x_0$ とする。

交点では

$$ ax^2=\frac{1}{a}(x-1)^2 $$

が成り立つ。これを変形すると

$$ a^2x^2=(x-1)^2=(1-x)^2 $$

となる。

ここで $0\leqq x\leqq 1,\ a>0$ より、$ax\geqq 0,\ 1-x\geqq 0$ であるから、

$$ ax=1-x $$

とおける。したがって

$$ (a+1)x=1 $$

より、

$$ x_0=\frac{1}{a+1} $$

である。

よって （1） の答えは

$$ \frac{1}{a+1} $$

である。

次に、求める面積 $S(a)$ を求める。

$0\leqq x\leqq x_0$ では $C_1$ のほうが下にあり、$x_0\leqq x\leqq 1$ では $C_2$ のほうが下にあるから、

$$ S(a)=\int_0^{x_0} ax^2,dx+\int_{x_0}^1 \frac{1}{a}(x-1)^2,dx $$

である。$x_0=\dfrac{1}{a+1}$ を代入して計算すると、

$$ \int_0^{x_0} ax^2,dx =\left[\frac{a}{3}x^3\right]_0^{x_0} =\frac{a}{3}\left(\frac{1}{a+1}\right)^3 =\frac{a}{3(a+1)^3} $$

また、

$$ \int_{x_0}^1 \frac{1}{a}(x-1)^2,dx =\frac{1}{a}\int_{x_0}^1 (1-x)^2,dx =\frac{1}{a}\left[\frac{(1-x)^3}{3}\right]_{x_0}^1 =\frac{1}{a}\cdot \frac{(1-x_0)^3}{3} $$

であり、

$$ 1-x_0=1-\frac{1}{a+1}=\frac{a}{a+1} $$

だから、

$$ \int_{x_0}^1 \frac{1}{a}(x-1)^2,dx =\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{3}\left(\frac{a}{a+1}\right)^3 =\frac{a^2}{3(a+1)^3} $$

となる。したがって

$$ S(a)=\frac{a}{3(a+1)^3}+\frac{a^2}{3(a+1)^3} =\frac{a(a+1)}{3(a+1)^3} =\frac{a}{3(a+1)^2} $$

である。

よって （2） の答えは

$$ S(a)=\frac{a}{3(a+1)^2} $$

である。

最後に、$a>0$ での最大値を求める。

$$ S(a)=\frac{1}{3}\cdot \frac{a}{(a+1)^2} $$

より、

$$ S'(a)=\frac{1}{3}\cdot \frac{(a+1)^2-2a(a+1)}{(a+1)^4} =\frac{1}{3}\cdot \frac{1-a}{(a+1)^3} $$

となる。したがって、

• $0<a<1$ で $S'(a)>0$
• $a>1$ で $S'(a)<0$

であるから、$S(a)$ は $a=1$ で最大となる。

そのとき

$$ S(1)=\frac{1}{3(1+1)^2}=\frac{1}{12} $$

である。

よって （3） の答えは、最大値が

$$ \frac{1}{12} $$

であり、それを与える $a$ は

$$ a=1 $$

である。

解説

この問題では、囲まれる部分の上端が途中で $C_1$ から $C_2$ に切り替わる。その切り替わりの点が交点なので、まず交点を正確に求めることが重要である。

また、交点の計算では

$$ a^2x^2=(1-x)^2 $$

から単に平方根をとるのではなく、$0\leqq x\leqq 1$ と $a>0$ により $ax,\ 1-x$ がともに非負であることを確認して

$$ ax=1-x $$

とするのがポイントである。

答え

**(1)**

$C_1,\ C_2$ の交点の $x$ 座標は

$$ \frac{1}{a+1} $$

**(2)**

$$ S(a)=\frac{a}{3(a+1)^2} $$

**(3)**

$S(a)$ の最大値は

$$ \frac{1}{12} $$

であり、それを与える $a$ は

$$ a=1 $$