解説

方針・初手

点 (P,Q) を

$$ P=(p,p),\qquad Q=(q,-q) $$

とおくと，条件 (OP+OQ=\sqrt2) は

$$ \sqrt2,|p|+\sqrt2,|q|=\sqrt2 $$

より

$$ |p|+|q|=1 $$

となる。

つぎに，点 (R=(x,y)) が線分 (PQ) 上にある条件を式に直し，領域 (S) を表す不等式を得る。そのうえで断面を見て面積を積分で求める。

解法1

点 (R=(x,y)) が線分 (PQ) 上にあるとする。すると，ある (t\in[0,1]) が存在して

$$ R=tP+(1-t)Q $$

と書けるから，

$$ x=t p+(1-t)q,\qquad y=t p-(1-t)q $$

である。よって

$$ x+y=2tp,\qquad x-y=2(1-t)q $$

を得る。

したがって (0<t<1) のとき

$$ \frac{|x+y|}{2t}+\frac{|x-y|}{2(1-t)} =|p|+|q|=1 $$

である。

逆に，ある (t\in(0,1)) について

$$ \frac{|x+y|}{2t}+\frac{|x-y|}{2(1-t)}=1 $$

が成り立てば，

$$ p=\frac{x+y}{2t},\qquad q=\frac{x-y}{2(1-t)} $$

とおくことで (P,Q) を作れる。したがって，(R=(x,y)) が (S) に属するための必要十分条件は，ある (t\in(0,1)) が存在して

$$ \frac{|x+y|}{2t}+\frac{|x-y|}{2(1-t)}=1 $$

となることである。

ここで

$$ f(t)=\frac{|x+y|}{2t}+\frac{|x-y|}{2(1-t)} $$

とおくと，(0<t<1) で連続であり，(t\to0,\ 1) で (f(t)\to\infty) となる。また

$$ f(t)\ge \frac{\left(\sqrt{|x+y|}+\sqrt{|x-y|}\right)^2}{2} $$

であり，等号は

$$ t=\frac{\sqrt{|x+y|}}{\sqrt{|x+y|}+\sqrt{|x-y|}} $$

のときに成り立つ。よって (f(t)=1) となる (t) が存在するための必要十分条件は

$$ \frac{\left(\sqrt{|x+y|}+\sqrt{|x-y|}\right)^2}{2}\le1 $$

すなわち

$$ \sqrt{|x+y|}+\sqrt{|x-y|}\le\sqrt2 \tag{*} $$

である。

（1） 直線 (x=a) との交点の (y) 座標の最大値

まず対称性より，最大値は (a) を (-a) に変えても同じであるから，(0\le a\le1) としてよい。

このとき，実際に

$$ P=\left(\frac{1+a}{2},\frac{1+a}{2}\right),\qquad Q=\left(-\frac{1-a}{2},\frac{1-a}{2}\right) $$

をとると (|p|+|q|=1) であり，線分 (PQ) 上の点

$$ R=\frac{1+a}{2}P+\frac{1-a}{2}Q $$

は

$$ x=a,\qquad y=\frac{1+a^2}{2} $$

を満たす。したがって最大値は少なくとも (\dfrac{1+a^2}{2}) である。

よって最大値を (Y) とすると，(Y\ge \dfrac{1+a^2}{2}\ge a) であるから，((*)) において (|a+Y|=a+Y,\ |a-Y|=Y-a) となり，

$$ \sqrt{a+Y}+\sqrt{Y-a}\le\sqrt2 $$

である。両辺を2乗すると

$$ 2Y+2\sqrt{Y^2-a^2}\le2 $$

すなわち

$$ Y+\sqrt{Y^2-a^2}\le1 $$

となる。よって (\sqrt{Y^2-a^2}\le1-Y) であるから，

$$ Y^2-a^2\le(1-Y)^2 $$

となり，

$$ 2Y\le1+a^2 $$

を得る。したがって

$$ Y\le\frac{1+a^2}{2} $$

である。

以上より，最大値は

$$ \frac{1+a^2}{2} $$

である。これは (a<0) の場合も同じなので，

$$ \boxed{\text{最大値 }=\frac{1+a^2}{2}} $$

となる。

（2） 領域 (S) を不等式で表す

（1） より，各 (x) に対して (y) の上端は

$$ y=\frac{1+x^2}{2} $$

である。また ((*)) は (y) を (-y) に変えても不変だから，下端は

$$ y=-\frac{1+x^2}{2} $$

である。

さらに ((*)) は (x,y) を入れ替えても不変であるから，同様に各 (y) に対して (x) は

$$ -\frac{1+y^2}{2}\le x\le \frac{1+y^2}{2} $$

を満たす。

したがって

$$ S=\left\{(x,y)\ \middle|\ |y|\le\frac{1+x^2}{2},\ |x|\le\frac{1+y^2}{2}\right\} $$

である。これは同値変形して

$$ \boxed{ S=\left\{(x,y)\ \middle|\ 2|y|-1\le x^2,\ 2|x|-1\le y^2\right\} } $$

と表せる。

（3） 領域 (S) の面積

領域 (S) は (x) 軸，(y) 軸について対称であるから，第1象限部分の面積を (A_1) とすると，全体の面積は (4A_1) である。

第1象限では

$$ y\le\frac{1+x^2}{2},\qquad x\le\frac{1+y^2}{2} $$

である。後者は

$$ y^2\ge2x-1 $$

すなわち

$$ y\ge\sqrt{2x-1}\qquad \left(\frac12\le x\le1\right) $$

となる。

よって第1象限での断面は，

（i） (0\le x\le \dfrac12) のとき

$$ 0\le y\le\frac{1+x^2}{2} $$

（ii） (\dfrac12\le x\le1) のとき

$$ \sqrt{2x-1}\le y\le\frac{1+x^2}{2} $$

である。したがって

$$ A_1= \int_0^{1/2}\frac{1+x^2}{2},dx +\int_{1/2}^{1}\left(\frac{1+x^2}{2}-\sqrt{2x-1}\right),dx $$

となる。

それぞれ計算すると，

$$ \int_0^{1/2}\frac{1+x^2}{2},dx =\left[\frac{x}{2}+\frac{x^3}{6}\right]_0^{1/2} =\frac{13}{48} $$

であり，

$$ \int_{1/2}^{1}\frac{1+x^2}{2},dx =\left[\frac{x}{2}+\frac{x^3}{6}\right]_{1/2}^{1} =\frac{19}{48} $$

また

$$ \int_{1/2}^{1}\sqrt{2x-1},dx =\frac12\int_0^1\sqrt{u},du =\frac13 $$

であるから，

$$ A_1=\frac{13}{48}+\frac{19}{48}-\frac13 =\frac13 $$

となる。

ゆえに求める面積は

$$ 4A_1=4\cdot\frac13=\frac43 $$

である。

解説

この問題の核心は，点 (P,Q) を

$$ P=(p,p),\qquad Q=(q,-q) $$

とおいて条件を (|p|+|q|=1) に落とすことである。これにより，線分 (PQ) 上の点 (R=(x,y)) を表す条件が

$$ \sqrt{|x+y|}+\sqrt{|x-y|}\le\sqrt2 $$

という形に整理できる。

（1） ではこの条件から断面の上端を求め，（2） では対称性を用いて領域全体を不等式で表す。（3） では第1象限に限定して，(x=\dfrac12) を境に積分区間を分ければよい。

見落としやすいのは，第1象限でも (x\ge\dfrac12) になると中央部分が抜けることである。ここを入れ忘れると面積を誤る。

答え

**(1)**

直線 (x=a) と線分 (PQ) の交点の (y) 座標の最大値は

$$ \boxed{\frac{1+a^2}{2}} $$

**(2)**

領域 (S) は

$$ \boxed{ S=\left\{(x,y)\ \middle|\ 2|y|-1\le x^2,\ 2|x|-1\le y^2\right\} } $$

で表される。

**(3)**

領域 (S) の面積は

$$ \boxed{\frac43} $$