解説

方針・初手

まず $C_1$ と $C_2$ の共有点は連立して求める。接線は微分で傾きを出せばよい。

面積については、どちらの曲線や直線が上側にあるかを確認してから積分する。最後は、求めた $S_1,\ S_2$ を条件式に代入して三次式を作り、その増減と中間値の定理で解の個数を調べる。

解法1

**(1)**

$C_1,\ C_2$ の共有点

$C_1,\ C_2$ の式を連立すると

$$ x^2-2x=-x^2+2ax-2a $$

であるから、

$$ 2x^2-2(a+1)x+2a=0 $$

$$ x^2-(a+1)x+a=0 $$

$$ (x-1)(x-a)=0 $$

よって

$$ x=1,\ a $$

である。

それぞれの $y$ 座標は $C_1$ に代入して求めれば

$$ x=1 のとき\ y=1-2=-1 $$

$$ x=a のとき\ y=a^2-2a $$

したがって共有点は

$$ (1,-1),\ (a,\ a^2-2a) $$

である。

（2） 点 $(2,,2a-4)$ における $C_2$ の接線 $l$

$C_2$ は

$$ y=-x^2+2ax-2a $$

であるから、その導関数は

$$ y'=-2x+2a $$

である。

したがって $x=2$ における接線の傾きは

$$ -2\cdot 2+2a=2a-4 $$

となる。

よって、点 $(2,,2a-4)$ を通り、傾き $2a-4$ の直線 $l$ は

$$ y-(2a-4)=(2a-4)(x-2) $$

すなわち

$$ l:\ y=(2a-4)x-2a+4 $$

である。

**(3)**

$S_1,\ S_2$ を $a$ で表す

まず $S_1$ を求める。

$C_1$ と $l$ の差は

$$ l-C_1={(2a-4)x-2a+4}-(x^2-2x) $$

であり、整理すると

$$ l-C_1=-(x-1)^2+2(a-2)(x-1)+1 $$

となる。

ここで $x=1,\ a$ における値は

$$ x=1 のとき\ l-C_1=1>0 $$

$$ x=a のとき\ l-C_1=(a-2)^2>0 $$

である。しかもこれは下に凸ではなく上に凸の二次式であるから、区間 $[1,a]$ では常に $l$ が $C_1$ より上にある。

したがって

$$ S_1=\int_1^a \left\{-(x-1)^2+2(a-2)(x-1)+1\right\},dx $$

である。よって

$$ \begin{aligned} S_1 &=\left[-\frac{(x-1)^3}{3}+(a-2)(x-1)^2+(x-1)\right]_1^a \\ &=-\frac{(a-1)^3}{3}+(a-2)(a-1)^2+(a-1) \end{aligned} $$

これを整理すると

$$ S_1=\frac{(a-1)(2a^2-7a+8)}{3} $$

を得る。

次に $S_2$ を求める。

$C_2-C_1$ は

$$ \begin{aligned} C_2-C_1 &=(-x^2+2ax-2a)-(x^2-2x) \\ &=-2x^2+2(a+1)x-2a \\ &=-2(x-1)(x-a) \end{aligned} $$

である。

$a>2$ より、区間 $1<x<a$ では $(x-1)>0,\ (x-a)<0$ であるから

$$ -2(x-1)(x-a)>0 $$

となり、この区間では $C_2$ が $C_1$ より上にある。

よって

$$ S_2=\int_1^a {-2(x-1)(x-a)},dx $$

である。ここで $u=x-1$ とおくと、$x=a$ のとき $u=a-1$ であるから

$$ \begin{aligned} S_2 &=\int_0^{a-1} 2u{(a-1)-u},du \\ &=\left[(a-1)u^2-\frac{2}{3}u^3\right]_0^{a-1} \\ &=\frac{(a-1)^3}{3} \end{aligned} $$

したがって

$$ S_1=\frac{(a-1)(2a^2-7a+8)}{3},\qquad S_2=\frac{(a-1)^3}{3} $$

である。

**(4)**

$2S_1-3S_2+2=0$ を満たす $a$ の個数

（3） の結果を代入すると

$$ 2S_1-3S_2+2 =2\cdot \frac{(a-1)(2a^2-7a+8)}{3}-3\cdot \frac{(a-1)^3}{3}+2 $$

であるから、

$$ 2S_1-3S_2+2=\frac{a^3-9a^2+21a-7}{3} $$

となる。

よって、求める方程式は

$$ a^3-9a^2+21a-7=0 $$

である。

ここで

$$ f(a)=a^3-9a^2+21a-7 $$

とおくと、

$$ f'(a)=3a^2-18a+21=3(a-3-\sqrt{2})(a-3+\sqrt{2}) $$

である。

したがって、$a>2$ において

• $2<a<3+\sqrt{2}$ では $f'(a)<0$
• $a>3+\sqrt{2}$ では $f'(a)>0$

であるから、$f(a)$ は $a>2$ でいったん減少し、その後増加する。ゆえに $a>2$ における解は高々 $2$ 個である。

一方、

$$ f(2)=8-36+42-7=7>0 $$

$$ f(5)=125-225+105-7=-2<0 $$

$$ f(7)=343-441+147-7=42>0 $$

である。

よって中間値の定理により、

$$ 2<a<5 $$

に 1 個、

$$ 5<a<7 $$

に 1 個、解が存在する。

しかも $a>2$ における解は高々 $2$ 個であったから、$2S_1-3S_2+2=0$ を満たす $a$ の値はちょうど $2$ 個である。

解説

この問題の要点は、面積を積分で処理する前に上下関係を確定することである。

$S_2$ については、共有点の $x$ 座標が $1,\ a$ と分かれば、区間 $(1,a)$ で $C_2-C_1=-2(x-1)(x-a)>0$ となるので、どちらが上かがすぐ分かる。

また （4） は解を実際に求める必要はなく、三次式の増減を調べて中間値の定理を使えば十分である。ここで個数を示すには「存在」と「高々2個」を両方示す必要がある。

答え

**(1)**

共有点は

$$ (1,-1),\ (a,\ a^2-2a) $$

である。

**(2)**

接線 $l$ の方程式は

$$ y=(2a-4)x-2a+4 $$

である。

**(3)**

$$ S_1=\frac{(a-1)(2a^2-7a+8)}{3},\qquad S_2=\frac{(a-1)^3}{3} $$

である。

**(4)**

$$ 2S_1-3S_2+2=0 $$

は

$$ a^3-9a^2+21a-7=0 $$

に同値であり、これは $a>2$ においてちょうど $2$ 個の解をもつ。具体的には

$$ 2<a<5,\qquad 5<a<7 $$

にそれぞれ 1 個ずつ解が存在する。