解説

方針・初手

放物線 $C_2$ に接する条件から，まず $k$ と $m$ の関係を出す。その後，円 $C_1$ に接する条件を，中心 $(0,1)$ と直線 $\ell$ との距離が半径 $1$ に等しいことを用いて立式する。

面積は，(1) で求めた直線と放物線の間の面積を，接点から $y$ 軸まで積分すればよい。

解法1

直線 $\ell$ は

$$ y=kx+m \qquad (k>0) $$

である。

放物線 $C_2$ は

$$ y=-\frac12 x^2 $$

であるから，$\ell$ と $C_2$ の共有点の $x$ 座標は

$$ kx+m=-\frac12 x^2 $$

すなわち

$$ x^2+2kx+2m=0 $$

を満たす。

$\ell$ は $C_2$ に接するので，この二次方程式は重解をもつ。したがって判別式を $0$ とおくと

$$ (2k)^2-4\cdot 1\cdot 2m=0 $$

より

$$ 4k^2-8m=0 $$

となるので，

$$ m=\frac{k^2}{2} $$

を得る。

次に，$\ell$ が円 $C_1:x^2+(y-1)^2=1$ に接する条件を用いる。円の中心は $(0,1)$，半径は $1$ である。

直線 $\ell$ を

$$ kx-y+m=0 $$

とみると，中心 $(0,1)$ からこの直線までの距離は

$$ \begin{aligned} \frac{|k\cdot 0-1+m|}{\sqrt{k^2+1}} &= \frac{|m-1|}{\sqrt{k^2+1}} \end{aligned} $$

である。これが半径 $1$ に等しいから，

$$ \frac{|m-1|}{\sqrt{k^2+1}}=1 $$

すなわち

$$ |m-1|=\sqrt{k^2+1} $$

である。

ここに $m=\dfrac{k^2}{2}$ を代入すると

$$ \left|\frac{k^2}{2}-1\right|=\sqrt{k^2+1} $$

となる。両辺を二乗して

$$ \left(\frac{k^2}{2}-1\right)^2=k^2+1 $$

$$ \frac{k^4}{4}-k^2+1=k^2+1 $$

$$ \frac{k^4}{4}-2k^2=0 $$

$$ k^2\left(\frac{k^2}{4}-2\right)=0 $$

よって

$$ k=0 \quad \text{または} \quad k^2=8 $$

を得るが，条件 $k>0$ より

$$ k=2\sqrt{2} $$

である。

したがって

$$ m=\frac{k^2}{2}=\frac{8}{2}=4 $$

となる。

よって直線 $\ell$ は

$$ y=2\sqrt{2},x+4 $$

である。

次に面積を求める。

放物線との接点の $x$ 座標は，二次方程式

$$ x^2+2kx+2m=0 $$

の重解であるから

$$ x=-k=-2\sqrt{2} $$

である。したがって，求める図形は $x=-2\sqrt{2}$ から $x=0$ まで，直線

$$ y=2\sqrt{2},x+4 $$

と放物線

$$ y=-\frac12 x^2 $$

にはさまれた部分である。

よって面積 $S$ は

$$ S=\int_{-2\sqrt{2}}^0 \left\{ \left(2\sqrt{2},x+4\right)-\left(-\frac12 x^2\right)\right\},dx $$

$$ =\int_{-2\sqrt{2}}^0 \left(\frac12 x^2+2\sqrt{2},x+4\right),dx $$

$$ =\left[\frac{x^3}{6}+\sqrt{2},x^2+4x\right]_{-2\sqrt{2}}^0 $$

ここで

$$ \begin{aligned} \frac{(-2\sqrt{2})^3}{6}+\sqrt{2}(-2\sqrt{2})^2+4(-2\sqrt{2}) &= -\frac{8\sqrt{2}}{3} \end{aligned} $$

であるから，

$$ S=0-\left(-\frac{8\sqrt{2}}{3}\right) =\frac{8\sqrt{2}}{3} $$

となる。

解説

放物線への接線条件は，直線と放物線を連立してできる二次方程式が重解をもつことから処理できる。円への接線条件は，中心から直線までの距離が半径に等しいことを使うのが最も直接的である。

この問題では，まず $m=\dfrac{k^2}{2}$ を出して未知数を一つ減らすことが要点である。面積については，接点の $x$ 座標が重解 $x=-k$ と分かるので，積分区間も自然に定まる。

答え

**(1)**

$$ k=2\sqrt{2},\qquad m=4 $$

**(2)**

$$ \frac{8\sqrt{2}}{3} $$