解説

方針・初手

放物線 $C$ 上の点の $x$ 座標を $a$ とおき，その点での接線を一般形で表すのが最も速い。

放物線 $y=\dfrac14 x^2$ の $x=a$ における接点は $\left(a,\dfrac{a^2}{4}\right)$ であり，接線の傾きは微分より $\dfrac{a}{2}$ である。これが点 $P(0,-4)$ を通る条件から $a$ を決める。

解法1

放物線 $C$ を

$$ y=\frac14 x^2 $$

とする。

その導関数は

$$ y'=\frac12 x $$

であるから，$x=a$ における接点を

$$ \left(a,\frac{a^2}{4}\right) $$

とすると，その点での接線は

$$ y-\frac{a^2}{4}=\frac{a}{2}(x-a) $$

すなわち

$$ y=\frac{a}{2}x-\frac{a^2}{4} $$

である。

この接線が $P(0,-4)$ を通るので，

$$ -4=\frac{a}{2}\cdot 0-\frac{a^2}{4} $$

より

$$ \frac{a^2}{4}=4 $$

したがって

$$ a^2=16,\quad a=\pm 4 $$

となる。

ここで，接線 $\ell$ は傾きが正であるから

$$ \frac{a}{2}>0 $$

より $a=4$ である。

よって接点 $Q$ は

$$ Q\left(4,\frac{4^2}{4}\right)=(4,4) $$

であり，接線 $\ell$ の方程式は

$$ y=\frac{4}{2}x-\frac{4^2}{4}=2x-4 $$

となる。

（1） 接線 $\ell$ と点 $Q$

以上より，

$$ \ell:\ y=2x-4,\qquad Q=(4,4) $$

である。

（2） 直線 $m$ の方程式

直線 $\ell$ の傾きは $2$ であるから，これに垂直な直線 $m$ の傾きは

$$ -\frac12 $$

である。

また $m$ は $Q(4,4)$ を通るので，

$$ y-4=-\frac12(x-4) $$

したがって

$$ m:\ y=-\frac12 x+6 $$

である。

（3） 面積 $S$

直線 $m$ と放物線 $C$ の交点を求めるため，

$$ \frac14 x^2=-\frac12 x+6 $$

とおく。

両辺を $4$ 倍すると，

$$ x^2=-2x+24 $$

すなわち

$$ x^2+2x-24=0 $$

であるから，

$$ (x+6)(x-4)=0 $$

となり，

$$ x=-6,\ 4 $$

を得る。$x=4$ は接点 $Q$ に対応するので，$Q$ 以外の交点は

$$ (-6,9) $$

である。

したがって，直線 $n$ はこの点を通り $y$ 軸に平行，つまり

$$ n:\ x=-6 $$

である。

求める面積 $S$ は，放物線 $C$ と $x$ 軸および $n:x=-6$ に囲まれた部分の面積であるから，

$$ S=\int_{-6}^{0}\frac14 x^2,dx $$

である。

計算すると，

$$ S=\frac14\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-6}^{0} =\frac14\left(0-\left(-72\right)\right) =18 $$

よって，

$$ S=18 $$

である。

解説

接線を求める問題では，接点の $x$ 座標を文字でおいて接線の方程式を作るのが基本である。この問題では，点 $P$ を通る条件から接点候補が $2$ つ出るが，「傾きが正」という条件で一方に絞れる。

また，面積は直線 $m$ を使って直接求めるのではなく，まず $m$ と放物線のもう一つの交点を求めて，そこを通る縦線 $n$ を確定させることが重要である。最後は $x=-6$ から $x=0$ までの放物線の下の面積として積分すればよい。

答え

**(1)**

$$ \ell:\ y=2x-4,\qquad Q=(4,4) $$

**(2)**

$$ m:\ y=-\frac12 x+6 $$

**(3)**

$$ S=18 $$