解説

方針・初手

共通接線をもつという条件から，接点 $A$ では 2 つの曲線が同じ点を通り，かつ傾きも一致する。

したがって，$x=a$ において

$$ f(a)=g(a), \qquad f'(a)=g'(a) $$

を立てれば，$a,m$ と接線 $\ell$ が決まる。

また，（1） は $g(x)=x^3-x$ の増減と軸との交点を調べれば十分に概形が描ける。（3） は （2） で求まる $f(x)$ を因数分解し，符号で積分区間を分ける。

解法1

**(1)**

$y=g(x)=x^3-x$ のグラフを調べる。

まず，

$$ g(x)=x(x-1)(x+1) $$

より，$x$ 軸との交点は $(-1,0),(0,0),(1,0)$ である。

また，

$$ g(-x)=(-x)^3-(-x)=-(x^3-x)=-g(x) $$

であるから，原点対称のグラフである。

さらに導関数は

$$ g'(x)=3x^2-1 $$

であるから，

$$ g'(x)=0 \iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}} $$

となる。よって増減は

• $x<-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ で増加
• $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}<x<\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ で減少
• $x>\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ で増加

である。

極値は

$$ \begin{aligned} g\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= -\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{3\sqrt{3}}, \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} g\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= \frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{2}{3\sqrt{3}} \end{aligned} $$

より，

$$ \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{3\sqrt{3}}\right) $$

で極大，

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{2}{3\sqrt{3}}\right) $$

で極小をとる。

したがって，原点対称で，$(-1,0),(0,0),(1,0)$ を通る $S$ 字型の三次曲線である。

（2） 共通接線の条件を用いる。

$f(x)=-x^2+mx-3$ なので，

$$ f'(x)=-2x+m $$

である。接点が $x=a$ であるから，

$$ f'(a)=g'(a) $$

より，

$$ -2a+m=3a^2-1 $$

すなわち

$$ m=3a^2+2a-1 $$

を得る。

また，同じ点 $A$ を通るので，

$$ f(a)=g(a) $$

すなわち

$$ -a^2+ma-3=a^3-a $$

である。ここに $m=3a^2+2a-1$ を代入すると，

$$ -a^2+a(3a^2+2a-1)-3=a^3-a $$

$$ 3a^3+a^2-a-3=a^3-a $$

$$ 2a^3+a^2-3=0 $$

となる。これを因数分解すると，

$$ 2a^3+a^2-3=(a-1)(2a^2+3a+3) $$

である。

ここで，

$$ 2a^2+3a+3 $$

の判別式は

$$ 3^2-4\cdot 2\cdot 3=-15<0 $$

であるから，実数解は $a=1$ のみである。

したがって，

$$ a=1 $$

であり，

$$ m=3\cdot 1^2+2\cdot 1-1=4 $$

となる。

よって

$$ f(x)=-x^2+4x-3 $$

であり，接点 $A$ は

$$ A=(1,f(1))=(1,0) $$

である。

接線の傾きは

$$ f'(1)=-2+4=2 $$

だから，接線 $\ell$ の方程式は

$$ y-0=2(x-1) $$

すなわち

$$ y=2x-2 $$

である。

（3） （2） より

$$ f(x)=-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3) $$

である。

したがって，区間 $[0,3]$ では

• $0\le x<1$ で $f(x)<0$
• $1<x\le 3$ で $f(x)>0$

となるから，

$$ \begin{aligned} \int_0^3 |f(x)|,dx &= -\int_0^1 f(x),dx+\int_1^3 f(x),dx \end{aligned} $$

である。

$f(x)$ の原始関数を

$$ F(x)=-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x $$

とすると，

$$ \begin{aligned} \int_0^1 f(x),dx &= F(1)-F(0) \\ \left(-\frac{1}{3}+2-3\right)-0 \\ -\frac{4}{3} \end{aligned} $$

より，

$$ -\int_0^1 f(x),dx=\frac{4}{3} $$

である。

また，

$$ \begin{aligned} \int_1^3 f(x),dx &= F(3)-F(1) \\ \left(-9+18-9\right)-\left(-\frac{4}{3}\right) \\ \frac{4}{3} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \int_0^3 |f(x)|,dx &= \frac{4}{3}+\frac{4}{3} \\ \frac{8}{3} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の中心は，共通接線の条件を正確に式にすることである。接線が共通である以上，接点での $y$ 座標が一致するだけでなく，導関数の値も一致する。この 2 条件から $a,m$ が一気に定まる。

また，（3） では $m$ を先に確定させないと $f(x)$ の符号が読めない。$f(x)=-(x-1)(x-3)$ と因数分解できれば，絶対値を外すための区間分けはすぐにできる。

答え

**(1)**

$y=x^3-x$ は原点対称で，$(-1,0),(0,0),(1,0)$ を通る三次曲線である。

極大点は

$$ \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{3\sqrt{3}}\right) $$

極小点は

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{2}{3\sqrt{3}}\right) $$

である。

**(2)**

$$ a=1,\qquad m=4 $$

共通接線 $\ell$ は

$$ y=2x-2 $$

である。

**(3)**

$$ \int_0^3 |f(x)|,dx=\frac{8}{3} $$