解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $t$ とおいて接線の式を求めると、点 $A(0,-9)$ を通る条件から $t$ が直ちに定まる。

この問題の要点は、接線がどこで接するかを先に確定することである。接点が分かれば、（1） は放物線と接線の差を積分すればよく、（2） は $AP,\ AQ$ の傾きから角の条件を式にできる。

解法1

放物線を

$$ y=f(x)=x^2-ax $$

とする。

放物線上の点で $x=t$ における接線を求める。$f'(x)=2x-a$ であるから、接線の式は

$$ y=(2t-a)(x-t)+t^2-at $$

である。これを整理すると

$$ y=(2t-a)x-t^2 $$

となる。

この接線が $A(0,-9)$ を通るので、

$$ -9=(2t-a)\cdot 0-t^2 $$

より

$$ t^2=9 $$

である。したがって

$$ t=\pm 3 $$

である。

条件より、点 $P$ の $x$ 座標の方が点 $Q$ の $x$ 座標より大きいので、

$$ P=(3,9-3a),\qquad Q=(-3,9+3a) $$

である。

したがって、それぞれの接線は

$$ l:\ y=(6-a)x-9 $$

$$ m:\ y=(-6-a)x-9 $$

となる。

また、$l,\ m$ の交点は

$$ (6-a)x-9=(-6-a)x-9 $$

より $x=0$、したがって $A(0,-9)$ である。

（1） 面積

放物線 $C$ と接線 $l,\ m$ とで囲まれる図形は、$x=-3$ から $x=3$ までの放物線と、線分 $AQ,\ AP$ で囲まれる部分である。

まず $[-3,0]$ では、放物線と接線 $m$ の差は

$$ (x^2-ax)-{(-6-a)x-9}=x^2+6x+9=(x+3)^2 $$

である。

同様に $[0,3]$ では、放物線と接線 $l$ の差は

$$ (x^2-ax)-{(6-a)x-9}=x^2-6x+9=(x-3)^2 $$

である。

よって求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-3}^{0}(x+3)^2,dx+\int_{0}^{3}(x-3)^2,dx $$

となる。

計算すると

$$ \int_{-3}^{0}(x+3)^2,dx=\int_{0}^{3}u^2,du=9 $$

$$ \int_{0}^{3}(x-3)^2,dx=\int_{-3}^{0}v^2,dv=9 $$

であるから、

$$ S=9+9=18 $$

となる。

（2） $\angle PAQ=45^\circ$ となる $a$

直線 $AP,\ AQ$ はそれぞれ接線 $l,\ m$ そのものであるから、その傾きは

$$ 6-a,\qquad -6-a $$

である。

したがって、2直線のなす角 $\theta=\angle PAQ$ について

$$ \begin{aligned} \tan \theta= \left| \frac{(-6-a)-(6-a)}{1+(6-a)(-6-a)} \right| &= \left| \frac{-12}{a^2-35} \right| &= \frac{12}{|a^2-35|} \end{aligned} $$

である。

$\theta=45^\circ$ であるから $\tan\theta=1$ より

$$ \frac{12}{|a^2-35|}=1 $$

すなわち

$$ |a^2-35|=12 $$

である。よって

$$ a^2=23\quad \text{または}\quad a^2=47 $$

を得る。

ただし、$\angle PAQ=45^\circ$ は鋭角である。そこで内積の符号を見る。

$$ \overrightarrow{AP}=(3,18-3a)=3(1,6-a) $$

$$ \overrightarrow{AQ}=(-3,18+3a)=3(-1,6+a) $$

より

$$ \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ} =9{ -1+(6-a)(6+a)} =9(35-a^2) $$

である。鋭角となるためには

$$ 35-a^2>0 $$

すなわち

$$ a^2<35 $$

でなければならない。

したがって $a^2=47$ は不適であり、

$$ a^2=23 $$

のみが適する。

ゆえに

$$ a=\pm\sqrt{23} $$

である。

解説

この問題の本質は、「点 $A$ を通る接線」という条件を接点の文字 $t$ で処理することである。接線の式が

$$ y=(2t-a)x-t^2 $$

と簡潔になるため、$A(0,-9)$ を代入するだけで $t=\pm 3$ が決まる。ここが最重要の着眼点である。

（1） では、放物線と各接線の差がそれぞれ

$$ (x+3)^2,\qquad (x-3)^2 $$

となり、$a$ が消える。したがって面積は定数になる。

（2） では、傾きから角を求めるのが最短である。ただし、傾きの公式からは「2直線の鋭角」が出るので、$45^\circ$ と $135^\circ$ を取り違えないように、最後に内積で鋭角条件を確認する必要がある。

答え

**(1)**

放物線 $C$ と接線 $l,\ m$ とで囲まれる図形の面積は

$$ 18 $$

である。

**(2)**

$\angle PAQ=45^\circ$ となる $a$ の値は

$$ a=\pm\sqrt{23} $$

である。