解説

方針・初手

まず接線の傾きは $f'(t)$ であるから、$f'(x)$ を因数分解しておく。

また、（2） では「直線 $y=g(x)$ と接線 $\ell$ が点 $P$ で直交する」という条件から、$P$ が直線 $y=g(x)$ 上にあることと、2直線の傾きの積が $-1$ であることを用いる。

（3） では （2） で得た $a$ を代入して交点を求め、囲まれた2つの部分の面積を積分で求める。

解法1

$$ f(x)=2x^3-3(2a-1)x^2-12ax,\qquad g(x)=\frac{2}{3(4a^2+4a+1)}x+b $$

である。

まず、

$$ f'(x)=6x^2-6(2a-1)x-12a $$

であり、これは

$$ f'(x)=6(x-2a)(x+1) $$

と因数分解できる。

（1） 接線 $\ell$ の方程式

点 $P(t,f(t))$ における接線の方程式は

$$ y-f(t)=f'(t)(x-t) $$

であるから、

$$ y-\left\{2t^3-3(2a-1)t^2-12at\right\} =\left\{6t^2-6(2a-1)t-12a\right\}(x-t) $$

である。

したがって、接線 $\ell$ の方程式は

$$ y=\left\{6t^2-6(2a-1)t-12a\right\}(x-t)+2t^3-3(2a-1)t^2-12at $$

である。

（2） $t$ を $a$ で表し、さらに $b=0$ のときの $a$ を求める

直線 $y=g(x)$ の傾きは

$$ \frac{2}{3(4a^2+4a+1)} =\frac{2}{3(2a+1)^2} $$

である。

接線 $\ell$ と直線 $y=g(x)$ が点 $P$ で直交するから、まず $P$ は $y=g(x)$ 上にあり、さらに傾きの積が $-1$ である。よって

$$ f'(t)\cdot \frac{2}{3(2a+1)^2}=-1 $$

である。

$f'(t)=6(t-2a)(t+1)$ を代入すると、

$$ 6(t-2a)(t+1)\cdot \frac{2}{3(2a+1)^2}=-1 $$

すなわち

$$ 4(t-2a)(t+1)=-(2a+1)^2 $$

である。これを整理すると、

$$ 4t^2+4(1-2a)t+(2a-1)^2=0 $$

となり、左辺は

$$ {2t-(2a-1)}^2 $$

に等しい。したがって

$$ t=\frac{2a-1}{2}=a-\frac12 $$

である。

次に $b=0$ とする。このとき $P$ は $y=g(x)$ 上にあるから

$$ f(t)=\frac{2}{3(2a+1)^2}t $$

である。ここに $t=a-\dfrac12$ を代入すると、

$$ f\left(a-\frac12\right)-\frac{2}{3(2a+1)^2}\left(a-\frac12\right)=0 $$

となる。整理すると

$$ -\frac{(2a-1)(48a^4+144a^3+120a^2+36a+5)}{6(2a+1)^2}=0 $$

を得る。

ここで $a>0$ であるから

$$ 48a^4+144a^3+120a^2+36a+5>0 $$

である。したがって

$$ 2a-1=0 $$

でなければならない。よって

$$ a=\frac12 $$

である。

（3） 囲まれた2つの部分の面積の和

$b=0,\ a=\dfrac12$ のとき、

$$ f(x)=2x^3-6x,\qquad g(x)=\frac16x $$

である。

交点は

$$ 2x^3-6x=\frac16x $$

すなわち

$$ 12x^3-37x=0 $$

より

$$ x\left(12x^2-37\right)=0 $$

となるから、

$$ x=0,\ \pm \sqrt{\frac{37}{12}} $$

である。

ここで

$$ g(x)-f(x)=\frac16x-(2x^3-6x)=\frac{37}{6}x-2x^3 $$

であり、$0<x<\sqrt{\dfrac{37}{12}}$ ではこれが正である。したがって右側の部分の面積は

$$ \int_0^{\sqrt{37/12}}\left(\frac{37}{6}x-2x^3\right),dx $$

である。

また、$f(x)$ と $g(x)$ はともに奇関数であるから、左右の2つの部分の面積は等しい。よって求める面積の和 $S$ は

$$ S=2\int_0^{\sqrt{37/12}}\left(\frac{37}{6}x-2x^3\right),dx $$

である。

計算すると、

$$ S=2\left[\frac{37}{12}x^2-\frac12x^4\right]_0^{\sqrt{37/12}} $$

である。ここで

$$ \left(\sqrt{\frac{37}{12}}\right)^2=\frac{37}{12},\qquad \left(\sqrt{\frac{37}{12}}\right)^4=\frac{1369}{144} $$

より、

$$ S=2\left(\frac{37}{12}\cdot \frac{37}{12}-\frac12\cdot \frac{1369}{144}\right) =2\left(\frac{1369}{144}-\frac{1369}{288}\right) =2\cdot \frac{1369}{288} =\frac{1369}{144} $$

となる。

解説

この問題の要点は、（2） で「点 $P$ で直交」という条件を正確に読むことである。

単に傾きの積が $-1$ というだけでなく、接線 $\ell$ と直線 $y=g(x)$ が点 $P$ で交わるので、$P$ は $y=g(x)$ 上にもある。この2条件を合わせることで $t$ と $a$ が決まる。

また、（3） では $a=\dfrac12$ によって式が大きく簡単になり、交点が3つあることから囲まれた部分が2つできる。さらに両関数が奇関数であるため、左右対称を使うと計算が整理しやすい。

答え

**(1)**

$$ y=\left\{6t^2-6(2a-1)t-12a\right\}(x-t)+2t^3-3(2a-1)t^2-12at $$

**(2)**

$$ t=a-\frac12 $$

また、$b=0$ のとき

$$ a=\frac12 $$

**(3)**

$$ \frac{1369}{144} $$