解説

方針・初手

まず接線の傾きは導関数 $f'(x)$ で与えられるので、$f'(x)$ を求めて整理する。

また、（2） では「点 $P$ で直交する」という条件から、

• 接線 $\ell$ の傾きと $y=g(x)$ の傾きの積が $-1$
• 直線 $y=g(x)$ が点 $P(t,f(t))$ を通るので $f(t)=g(t)$

の2条件を使う。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=2x^3-3(2a-1)x^2-12ax, \qquad g(x)=\frac{2}{3(4a^2+4a+1)}x+b $$

である。

（1） 接線 $\ell$ の方程式

まず導関数を求めると

$$ f'(x)=6x^2-6(2a-1)x-12a $$

であり、これは

$$ f'(x)=6(x-2a)(x+1) $$

と因数分解できる。

したがって、点 $P(t,f(t))$ における接線の傾きは

$$ f'(t)=6(t-2a)(t+1) $$

であるから、接線 $\ell$ は

$$ y-f(t)=f'(t)(x-t) $$

すなわち

$$ y-\bigl(2t^3-3(2a-1)t^2-12at\bigr)=6(t-2a)(t+1)(x-t) $$

である。

これを整理すると

$$ \ell:\ y=6(t-2a)(t+1)x-4t^3+3(2a-1)t^2 $$

となる。

（2） $t$ を $a$ で表し、さらに $b=0$ のときの $a$ を求める

直線 $y=g(x)$ の傾きは

$$ \frac{2}{3(4a^2+4a+1)}=\frac{2}{3(2a+1)^2} $$

である。

$\ell$ と $y=g(x)$ が点 $P$ で直交するから、傾きの積が $-1$ である。よって

$$ 6(t-2a)(t+1)\cdot \frac{2}{3(2a+1)^2}=-1 $$

となる。整理すると

$$ 4(t-2a)(t+1)=-(2a+1)^2 $$

すなわち

$$ 4t^2+4(1-2a)t+(2a-1)^2=0 $$

である。左辺は

$$ (2t-2a+1)^2 $$

に等しいから、

$$ (2t-2a+1)^2=0 $$

より

$$ t=a-\frac12 $$

を得る。

次に $b=0$ とする。このとき

$$ g(x)=\frac{2}{3(2a+1)^2}x $$

であり、直線 $y=g(x)$ は点 $P(t,f(t))$ を通るから

$$ f(t)=g(t) $$

が成り立つ。

$t=a-\frac12$ を代入すると、

$$ f(t) =2\left(a-\frac12\right)^3-3(2a-1)\left(a-\frac12\right)^2-12a\left(a-\frac12\right) =-\frac{(2a-1)(4a^2+8a+1)}2 $$

であり、

$$ g(t)=\frac{2}{3(2a+1)^2}\left(a-\frac12\right) =\frac{2a-1}{3(2a+1)^2} $$

である。

したがって

$$ -\frac{(2a-1)(4a^2+8a+1)}2=\frac{2a-1}{3(2a+1)^2} $$

を得る。

ここで $a>0$ なので $4a^2+8a+1>0,\ (2a+1)^2>0$ である。もし $2a-1\neq 0$ なら、左辺は $\frac{2a-1}{\cdots}$ と逆符号、右辺は同符号となり等しくなれない。よって

$$ 2a-1=0 $$

であり、

$$ a=\frac12 $$

である。

（3） $b=0,\ a=\dfrac12$ のとき、$y=f(x)$ と $y=g(x)$ で囲まれた2つの部分の面積の和

$a=\dfrac12,\ b=0$ を代入すると

$$ f(x)=2x^3-6x, \qquad g(x)=\frac{x}{6} $$

である。

交点は

$$ 2x^3-6x=\frac{x}{6} $$

より

$$ 12x^3-37x=0 $$

すなわち

$$ x(12x^2-37)=0 $$

だから、

$$ x=0,\ \pm\sqrt{\frac{37}{12}} $$

である。

$\alpha=\sqrt{\dfrac{37}{12}}$ とおくと、$0<x<\alpha$ では

$$ g(x)-f(x)=\frac{x}{6}-(2x^3-6x)=\frac{37x}{6}-2x^3>0 $$

であるから、求める面積の和 $S$ は対称性より

$$ S=2\int_0^\alpha \bigl(g(x)-f(x)\bigr),dx =2\int_0^\alpha \left(\frac{37x}{6}-2x^3\right)dx $$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} S &=2\left[\frac{37}{12}x^2-\frac12 x^4\right]_0^\alpha \\ &=2\left(\frac{37}{12}\alpha^2-\frac12\alpha^4\right). \end{aligned} $$

ここで

$$ \alpha^2=\frac{37}{12},\qquad \alpha^4=\left(\frac{37}{12}\right)^2=\frac{1369}{144} $$

だから、

$$ \begin{aligned} S &=2\left(\frac{37}{12}\cdot \frac{37}{12}-\frac12\cdot \frac{1369}{144}\right) \\ &=2\left(\frac{1369}{144}-\frac{1369}{288}\right) \\ &=\frac{1369}{144}. \end{aligned} $$

解説

この問題の要点は、まず

$$ f'(x)=6(x-2a)(x+1) $$

ときれいに因数分解できることに気づく点にある。これにより接線の傾きが扱いやすくなり、（2） の直交条件が平方完成された形

$$ (2t-2a+1)^2=0 $$

にまとまる。

また、直交条件だけでは $a$ は決まらず、「点 $P$ で交わる」という条件、すなわち $f(t)=g(t)$ を併用する必要がある。ここを落とすと （2） は解き切れない。

（3） は $a=\dfrac12,\ b=0$ を代入すると奇関数どうしの比較になり、左右対称な2つの面積が等しいので、片側の面積を2倍すればよい。

答え

**(1)**

$$ \ell:\ y-\bigl(2t^3-3(2a-1)t^2-12at\bigr)=6(t-2a)(t+1)(x-t) $$

すなわち

$$ \ell:\ y=6(t-2a)(t+1)x-4t^3+3(2a-1)t^2 $$

**(2)**

$$ t=a-\frac12 $$

また、$b=0$ のとき

$$ a=\frac12 $$

**(3)**

$$ \frac{1369}{144} $$