解説

方針・初手

まず

$$ f(x)=x^3-5x^2+6x+1=x(x-2)(x-3)+1 $$

と因数分解して符号を調べる。$x\geqq 0$ では、区間 $[0,2]$, $[2,3]$, $[3,\infty)$ で符号の様子が変わるので、そこで場合分けするのが自然である。

次に （2） では、（1） により $a\geqq 1$ のとき区間 $[a,a+1]$ で常に $f(x)>0$ だから、面積はそのまま積分で表せる。さらに

$$ S(a)=\int_a^{a+1} f(x),dx $$

を微分すると

$$ S'(a)=f(a+1)-f(a) $$

となるので、これで増減を調べればよい。

解法1

**(1)**

$f(x)$ を

$$ f(x)=x(x-2)(x-3)+1 $$

と書く。

$x\geqq 0$ を次の3つの場合に分ける。

**(i)**

$0\leqq x\leqq 2$ のとき

$x\geqq 0,\ x-2\leqq 0,\ x-3\leqq 0$ であるから、

$$ x(x-2)(x-3)\geqq 0 $$

となる。よって

$$ f(x)=x(x-2)(x-3)+1\geqq 1>0 $$

である。

**(ii)**

$2\leqq x\leqq 3$ のとき

$t=x-2$ とおくと $0\leqq t\leqq 1$ であり、

$$ x=t+2,\quad x-2=t,\quad x-3=t-1 $$

だから、

$$ f(x)=(t+2)t(t-1)+1=1-t(1-t)(t+2) $$

となる。

ここで $0\leqq t\leqq 1$ より

$$ t(1-t)\leqq \frac14,\qquad t+2\leqq 3 $$

であるから、

$$ t(1-t)(t+2)\leqq \frac14\cdot 3=\frac34 $$

したがって

$$ f(x)=1-t(1-t)(t+2)\geqq 1-\frac34=\frac14>0 $$

である。

**(iii)**

$x\geqq 3$ のとき

$x,\ x-2,\ x-3$ はいずれも $0$ 以上であるから、

$$ x(x-2)(x-3)\geqq 0 $$

したがって

$$ f(x)=x(x-2)(x-3)+1\geqq 1>0 $$

である。

以上より、すべての $x\geqq 0$ に対して

$$ f(x)>0 $$

が成り立つ。

**(2)**

（1） より $a\geqq 1$ のとき区間 $[a,a+1]$ では常に $f(x)>0$ である。よって、求める面積は

$$ S(a)=\int_a^{a+1} f(x),dx $$

である。

これを $a$ で微分すると、

$$ S'(a)=f(a+1)-f(a) $$

である。そこで $f(a+1)-f(a)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f(a+1) &=(a+1)^3-5(a+1)^2+6(a+1)+1 \\ &=a^3-2a^2-a+3 \end{aligned} $$

また、

$$ f(a)=a^3-5a^2+6a+1 $$

だから、

$$ \begin{aligned} S'(a) &=f(a+1)-f(a) \\ &=(a^3-2a^2-a+3)-(a^3-5a^2+6a+1) \\ &=3a^2-7a+2 \\ &=(a-2)(3a-1) \end{aligned} $$

となる。

ここで $a\geqq 1$ なので $3a-1>0$ である。したがって $S'(a)$ の符号は $a-2$ の符号と一致する。よって

• $1\leqq a<2$ で $S'(a)<0$
• $a>2$ で $S'(a)>0$

となるから、$S(a)$ は $a=2$ で最小となる。

最小値は

$$ S(2)=\int_2^3 (x^3-5x^2+6x+1),dx $$

である。原始関数を

$$ F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{5x^3}{3}+3x^2+x $$

とすると、

$$ \begin{aligned} S(2) &=F(3)-F(2) \\ &=\left(\frac{81}{4}-45+27+3\right)-\left(4-\frac{40}{3}+12+2\right) \\ &=\frac{21}{4}-\frac{14}{3} \\ &=\frac{7}{12} \end{aligned} $$

である。

したがって、$S(a)$ の最小値は $\dfrac{7}{12}$ であり、そのとき $a=2$ である。

解説

（1） の要点は、3次式をそのまま扱わず

$$ f(x)=x(x-2)(x-3)+1 $$

と因数分解して、$2$ と $3$ を境に符号を調べることである。特に $2\leqq x\leqq 3$ では、そのままでは符号が見えにくいので、$t=x-2$ とおいて $0\leqq t\leqq 1$ の範囲に直すと見通しがよくなる。

（2） では、面積を直接積分したあとに式を展開して最小値を求めてもよいが、

$$ S'(a)=f(a+1)-f(a) $$

を使うと計算がかなり簡潔になる。区間の長さが一定の積分では、この処理が典型的である。

答え

**(1)**

すべての $x\geqq 0$ に対して

$$ f(x)>0 $$

が成り立つ。

**(2)**

$S(a)$ は $a=2$ のとき最小となり、その最小値は

$$ \frac{7}{12} $$

である。