解説

方針・初手

絶対値の中身 $x^2-5x=x(x-5)$ の符号で $C$ を場合分けする。

すると $C$ は区間ごとに 2 つの放物線で表されるので，直線 $l$ との共有点は各区間で方程式を解けばよい。面積については，共有点の $x$ 座標で区切って積分する。

解法1

まず，$x^2-5x=x(x-5)$ の符号より，

$$ y=|x^2-5x|-2x= \begin{cases} x^2-7x & (x\leqq 0,\ x\geqq 5),\\ -x^2+3x & (0\leqq x\leqq 5) \end{cases} $$

である。

直線 $l$ は

$$ y=(m-7)x $$

である。

（1） $m$ の値の範囲

$C$ の外側の部分 $y=x^2-7x$ と $l$ の共有点は

$$ x^2-7x=(m-7)x $$

より，

$$ x^2-mx=0 $$

すなわち

$$ x(x-m)=0 $$

である。したがって，原点以外の共有点の $x$ 座標は $x=m$ であり，これが外側の部分にあるには

$$ m\leqq 0 \quad \text{または} \quad m\geqq 5 $$

でなければならない。

次に，$C$ の内側の部分 $y=-x^2+3x$ と $l$ の共有点は

$$ -x^2+3x=(m-7)x $$

より，

$$ -x^2+(10-m)x=0 $$

すなわち

$$ x(10-m-x)=0 $$

である。したがって，原点以外の共有点の $x$ 座標は $x=10-m$ であり，これが $0\leqq x\leqq 5$ にあるには

$$ 0\leqq 10-m\leqq 5 $$

すなわち

$$ 5\leqq m\leqq 10 $$

でなければならない。

原点以外に 2 つの共有点をもつためには，この 2 つがともに存在し，しかも一致してはならない。よって

$$ 5<m<10 $$

である。

（2） 囲まれた 2 つの部分の面積が等しくなる $m$

（1） より $5<m<10$ である。このとき

$$ a=10-m,\qquad b=m $$

とおくと，

$$ 0<a<5<b<10,\qquad a+b=10 $$

であり，原点以外の共有点の $x$ 座標は $x=a,\ x=b$ である。

$0<x<a$ では

$$ (-x^2+3x)-(m-7)x=-x^2+(10-m)x=x(a-x)>0 $$

であるから，この区間では $C$ が $l$ より上にある。したがって左側の部分の面積を $S_1$ とすると，

$$ S_1=\int_0^a\left\{(-x^2+3x)-(m-7)x\right\},dx =\int_0^a x(a-x),dx $$

よって，

$$ S_1=\left[\frac{a}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^a =\frac{a^3}{6} $$

となる。

次に，$a<x<5$ でも $5<x<b$ でも $l$ が $C$ より上にあるので，右側の部分の面積 $S_2$ は

$$ S_2=\int_a^5\left\{(m-7)x-(-x^2+3x)\right\},dx +\int_5^b\left\{(m-7)x-(x^2-7x)\right\},dx $$

すなわち

$$ S_2=\int_a^5 x(x-a),dx+\int_5^b x(b-x),dx $$

である。これを計算すると，

$$ \begin{aligned} S_2 &=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}x^2\right]_a^5 +\left[\frac{b}{2}x^2-\frac{x^3}{3}\right]_5^b \\ &=\frac{a^3+b^3}{6}-\frac{25}{2}(a+b)+\frac{250}{3} \end{aligned} $$

となる。ここで $a+b=10$ より，

$$ S_2=\frac{a^3+b^3}{6}-125+\frac{250}{3} =\frac{a^3+b^3}{6}-\frac{125}{3} $$

さらに $b=10-a$ を用いると，

$$ a^3+b^3=a^3+(10-a)^3=1000-300a+30a^2 $$

だから，

$$ \begin{aligned} S_2 &=\frac{1000-300a+30a^2}{6}-\frac{125}{3} \\ &=125-50a+5a^2 \\ &=5(a-5)^2 \end{aligned} $$

となる。

2 つの部分の面積が等しい条件は

$$ S_1=S_2 $$

すなわち

$$ \frac{a^3}{6}=5(a-5)^2 $$

である。

ここで $t=5-a$ とおくと，$0<t<5$ であり，

$$ a=5-t $$

だから，

$$ \frac{(5-t)^3}{6}=5t^2 $$

すなわち

$$ (5-t)^3=30t^2 $$

である。整理すると，

$$ 125-75t-15t^2-t^3=0 $$

よって

$$ t^3+15t^2+75t-125=0 $$

となる。左辺は

$$ (t+5)^3-250 $$

に等しいから，

$$ (t+5)^3=250=125\cdot 2 $$

したがって

$$ t+5=5\sqrt[3]{2} $$

より，

$$ t=5(\sqrt[3]{2}-1) $$

である。

$t=5-a,\ a=10-m$ であるから，

$$ t=5-(10-m)=m-5 $$

となり，

$$ m-5=5(\sqrt[3]{2}-1) $$

よって

$$ m=5\sqrt[3]{2} $$

である。

解説

絶対値を含む曲線では，まず中身の符号で場合分けするのが基本である。この問題では $C$ が

$$ y=x^2-7x,\qquad y=-x^2+3x $$

という 2 つの放物線に分かれるため，共有点も面積も区間ごとに考えるのが自然である。

また，面積が 2 つに分かれる位置は共有点の $x$ 座標で決まるので，先に （1） を完全に処理してから （2） に進む流れが重要である。

答え

**(1)**

$$ 5<m<10 $$

**(2)**

$$ m=5\sqrt[3]{2} $$