解説

方針・初手

接線と曲線の交点は、曲線 $y=x^3-x$ と接線の方程式を連立して求める。接点では重解をもつので、交点を与える方程式は因数分解しやすい。

また、曲線と接線で囲まれる面積は、両者の差

$$ \text{(曲線)}-\text{(接線)} $$

を因数分解してから積分すると簡潔に求まる。

解法1

$f(x)=x^3-x$ とおく。

点 $P(a,a^3-a)$ における接線 $\ell$ の傾きは

$$ f'(a)=3a^2-1 $$

であるから、$\ell$ の方程式は

$$ y=(a^3-a)+(3a^2-1)(x-a) $$

すなわち

$$ y=(3a^2-1)x-2a^3 $$

である。

（1） $b$ を $a$ で表す

接線 $\ell$ と曲線 $C$ の交点の $x$ 座標は

$$ x^3-x=(3a^2-1)x-2a^3 $$

を満たす。整理すると

$$ x^3-3a^2x+2a^3=0 $$

となる。

$x=a$ は接点なので重解であり、実際に

$$ x^3-3a^2x+2a^3=(x-a)^2(x+2a) $$

と因数分解できる。

したがって、$x=a$ 以外の交点の $x$ 座標は

$$ x=-2a $$

である。これが $Q$ の $x$ 座標 $b$ なので、

$$ b=-2a $$

である。

（2） 面積 $S_1$ を求める

曲線と接線の差は

$$ f(x)-\ell(x)=x^3-x-{(3a^2-1)x-2a^3} $$

であり、上で求めた式より

$$ f(x)-\ell(x)=(x-a)^2(x+2a) $$

である。

交点は $x=-2a,\ a$ であり、区間 $[-2a,a]$ では

$$ (x-a)^2\geqq 0,\qquad x+2a\geqq 0 $$

だから

$$ f(x)-\ell(x)\geqq 0 $$

となる。よって、この区間では曲線 $C$ が接線 $\ell$ の上にある。

したがって

$$ S_1=\int_{-2a}^{a}(f(x)-\ell(x)),dx =\int_{-2a}^{a}(x-a)^2(x+2a),dx $$

である。

ここで $t=x-a$ とおくと、$x=-2a$ のとき $t=-3a$、$x=a$ のとき $t=0$ であり、また $x+2a=t+3a$ だから

$$ S_1=\int_{-3a}^{0} t^2(t+3a),dt $$

となる。これを計算すると

$$ \begin{aligned} S_1 &=\int_{-3a}^{0}(t^3+3at^2),dt \\ &=\left[\frac{t^4}{4}+at^3\right]_{-3a}^{0} \\ &=0-\left(\frac{81a^4}{4}-27a^4\right) \\ &=\frac{27}{4}a^4 \end{aligned} $$

である。

（3） $\dfrac{S_2}{S_1}$ を求める

点 $Q(b,b^3-b)$ における接線を $m$ とする。

まず、$Q$ における接線 $m$ は

$$ y=(3b^2-1)x-2b^3 $$

である。

これと曲線 $C$ との交点は

$$ x^3-x=(3b^2-1)x-2b^3 $$

すなわち

$$ x^3-3b^2x+2b^3=(x-b)^2(x+2b)=0 $$

より、$x=b$ のほかに

$$ x=-2b $$

である。

ここで （1） より $b=-2a$ だから、もう一つの交点の $x$ 座標は

$$ -2b=4a $$

である。

さらに

$$ f(x)-m(x)=(x-b)^2(x+2b) $$

であり、区間 $[b,-2b]$ では $x+2b\leqq 0$ なので

$$ f(x)-m(x)\leqq 0 $$

となる。したがって、この区間では接線 $m$ が曲線 $C$ の上にある。

よって

$$ S_2=\int_b^{-2b}(m(x)-f(x)),dx =-\int_b^{-2b}(x-b)^2(x+2b),dx $$

である。

ここで $u=x-b$ とおくと、$x=b$ のとき $u=0$、$x=-2b$ のとき $u=-3b$ であり、$x+2b=u+3b$ だから

$$ S_2=-\int_0^{-3b}u^2(u+3b),du $$

となる。計算すると

$$ \begin{aligned} S_2 &=-\left[\frac{u^4}{4}+bu^3\right]_0^{-3b} \\ &=-\left(\frac{81b^4}{4}-27b^4\right) \\ &=\frac{27}{4}b^4 \end{aligned} $$

である。

ここで $b=-2a$ を代入すると

$$ S_2=\frac{27}{4}( -2a)^4=\frac{27}{4}\cdot 16a^4=108a^4 $$

となる。したがって

$$ \frac{S_2}{S_1} =\frac{108a^4}{\frac{27}{4}a^4} =16 $$

である。

解説

この問題の要点は、三次関数における接線との交点を調べるとき、接点が重解になることである。そのため、交点を与える三次方程式は

$$ (x-a)^2(x+2a) $$

の形に因数分解できる。

また、面積計算でもこの因数分解がそのまま使える。どちらが上にあるかを符号で確認してから積分すれば、絶対値を曖昧に扱わずに正確に求められる。

答え

**(1)**

$$ b=-2a $$

**(2)**

$$ S_1=\frac{27}{4}a^4 $$

**(3)**

$$ \frac{S_2}{S_1}=16 $$