解説

方針・初手

接線の式は、接点の座標とその点での微分係数から求める。

（2） では、点 $x=1$ での接線が $x=-2$ でも接線になるので、$x=1,,-2$ の両方で

• 接線の傾きが一致すること
• 同じ直線上に接点があること

を条件にして $a,b$ を決定する。

（3） では、求まった $a,b$ を用いて直線と曲線の差を調べ、囲まれた部分の面積を積分で求める。

解法1

$f(x)=x^4+ax^3+bx^2$ であるから、

$$ f'(x)=4x^3+3ax^2+2bx $$

である。

（1） 点 $(1,f(1))$ における接線 $l$ を求める。

まず

$$ f(1)=1+a+b $$

また、その点での傾きは

$$ f'(1)=4+3a+2b $$

である。

したがって、接線 $l$ の式は

$$ y-(1+a+b)=(4+3a+2b)(x-1) $$

すなわち

$$ y=(4+3a+2b)x-(3+2a+b) $$

である。

（2） この接線 $l$ が点 $(-2,f(-2))$ においても $C$ に接する条件を用いる。

まず

$$ f(-2)=16-8a+4b $$

であり、

$$ f'(-2)=-32+12a-4b $$

である。

同じ直線が $x=1$ と $x=-2$ の両方で接線になるので、傾きが等しい。よって

$$ f'(-2)=f'(1) $$

すなわち

$$ -32+12a-4b=4+3a+2b $$

これを整理すると

$$ 3a-2b=12 $$

を得る。

次に、直線 $l$ は点 $(-2,f(-2))$ を通るから、

$$ f(-2)=(4+3a+2b)(-2)-(3+2a+b) $$

である。

右辺を整理すると

$$ (4+3a+2b)(-2)-(3+2a+b)=-11-8a-5b $$

したがって

$$ 16-8a+4b=-11-8a-5b $$

となり、

$$ 9b=-27 $$

より

$$ b=-3 $$

である。

これを $3a-2b=12$ に代入して

$$ 3a-2(-3)=12 $$

$$ 3a+6=12 $$

$$ a=2 $$

よって

$$ a=2,\quad b=-3 $$

である。

（3） このとき

$$ f(x)=x^4+2x^3-3x^2 $$

であり、接線 $l$ は

$$ y=(4+3\cdot2+2\cdot(-3))x-(3+2\cdot2+(-3)) $$

より

$$ y=4x-4 $$

である。

曲線 $C$ と直線 $l$ の差をとると

$$ f(x)-l=x^4+2x^3-3x^2-4x+4 $$

これを因数分解すると

$$ f(x)-l=(x-1)^2(x+2)^2 $$

となる。

したがって、$C$ と $l$ は $x=1,,-2$ で接し、その間では

$$ f(x)-l=(x-1)^2(x+2)^2\geqq0 $$

であるから、囲まれた部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_{-2}^{1}{f(x)-l},dx =\int_{-2}^{1}(x-1)^2(x+2)^2,dx $$

である。

展開して積分すると

$$ S=\int_{-2}^{1}(x^4+2x^3-3x^2-4x+4),dx $$

$$ =\left[\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{2}-x^3-2x^2+4x\right]_{-2}^{1} $$

$$ =\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-1-2+4\right)-\left(-\frac{32}{5}+8+8-8-8\right) $$

$$ =\frac{17}{10}+\frac{32}{5} =\frac{17}{10}+\frac{64}{10} =\frac{81}{10} $$

よって、求める面積は

$$ \frac{81}{10} $$

である。

解説

この問題の要点は、同じ直線が異なる2点で接線になるという条件を、単に「2点を通る」ではなく、

• 2点での関数値がその直線上にあること
• 2点での微分係数がその直線の傾きと一致すること

として正確に使うことである。

また、（3） では $f(x)-l$ が $(x-1)^2(x+2)^2$ と平方の形に因数分解できるため、接していることと、どちらが上にあるかが一目で分かる。ここまで見通せると面積計算は素直である。

答え

**(1)**

$$ y-(1+a+b)=(4+3a+2b)(x-1) $$

すなわち

$$ y=(4+3a+2b)x-(3+2a+b) $$

**(2)**

$$ a=2,\quad b=-3 $$

**(3)**

囲まれた部分の面積は

$$ \frac{81}{10} $$