解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $a$ とおき、曲線 $C:y=x^3-4x+1$ の $x=a$ における接線を求める。 その接線が点 $P(3,0)$ を通る条件から $a$ を決定すれば、直線 $\ell$ が定まる。

その後、$C$ と $\ell$ の交点を調べ、両者の上下関係を確認して面積を積分で求める。

解法1

曲線

$$ y=x^3-4x+1 $$

の導関数は

$$ y'=3x^2-4 $$

である。

したがって、$x=a$ における接線は

$$ y=(3a^2-4)(x-a)+(a^3-4a+1) $$

と表される。

この接線が点 $P(3,0)$ を通るので、

$$ 0=(3a^2-4)(3-a)+(a^3-4a+1) $$

である。整理すると

$$ \begin{aligned} 0&=9a^2-12-3a^3+4a+a^3-4a+1 \\ &=-2a^3+9a^2-11 \end{aligned} $$

よって

$$ 2a^3-9a^2+11=0 $$

を得る。これは

$$ 2a^3-9a^2+11=(a+1)(2a^2-11a+11) $$

と因数分解できるので、

$$ a=-1,\quad a=\frac{11-\sqrt{33}}{4},\quad a=\frac{11+\sqrt{33}}{4} $$

である。

ここで接線の傾きは $3a^2-4$ であり、条件よりこれが負でなければならない。 実際、

$$ a=-1 $$

のとき

$$ 3a^2-4=3-4=-1<0 $$

であり、他の2解はいずれも $a>1$ なので傾きは正となる。 したがって求める接点は $x=-1$ である。

このとき

$$ f(-1)=(-1)^3-4(-1)+1=4 $$

より、接点は $(-1,4)$、傾きは $-1$ である。 ゆえに接線 $\ell$ は

$$ y-4=-1(x+1) $$

すなわち

$$ y=-x+3 $$

である。

次に、$C$ と $\ell$ の交点を求める。

$$ x^3-4x+1=-x+3 $$

より

$$ x^3-3x-2=0 $$

となる。これは

$$ x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2 $$

と因数分解できるので、交点の $x$ 座標は

$$ x=-1,\quad 2 $$

である。$x=-1$ は重解であり、ここで接していることが分かる。

さらに、

$$ (-x+3)-(x^3-4x+1)=-x^3+3x+2=-(x-2)(x+1)^2 $$

である。区間 $-1<x<2$ では $(x-2)<0,\ (x+1)^2>0$ だから、

$$ -(x-2)(x+1)^2>0 $$

となり、この区間では直線 $\ell$ が曲線 $C$ の上側にある。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-1}^{2}\left\{(-x+3)-(x^3-4x+1)\right\},dx $$

である。計算すると

$$ \begin{aligned} S&=\int_{-1}^{2}(-x^3+3x+2),dx \\ &=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2} \\ &=\left(-4+6+4\right)-\left(-\frac14+\frac32-2\right) \\ &=6-\left(-\frac34\right) \\ &=\frac{27}{4} \end{aligned} $$

よって、

$$ S=\frac{27}{4} $$

である。

解説

接線が外部の点 $P(3,0)$ を通るという条件は、接点を $a$ とおけば

$$ f(a)+f'(a)(3-a)=0 $$

と書ける。これにより接線の候補をすべて求められる。

本問ではそのうち「傾きが負」という条件で接線が一つに絞られる。 その後は、曲線と直線の差を因数分解して交点と上下関係を確認すれば、面積はそのまま定積分で求まる。

特に

$$ x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2 $$

と重解をもつことが、$x=-1$ で接していることを反映している点が重要である。

答え

$$ S=\frac{27}{4} $$