解説

方針・初手

交点の $x$ 座標は，$C_1,\ C_2$ を連立して得られる二次方程式の解である。 この二次方程式を使えば，**接線の傾きの積**と**面積の計算**がともに整理しやすい。

まず交点の $x$ 座標 $a,b$ は

$$ px^2=-px^2+2px+\frac{1}{2p} $$

より

$$ 2px^2-2px-\frac{1}{2p}=0 $$

すなわち

$$ x^2-x-\frac{1}{4p^2}=0 $$

の2解である。したがって

$$ a+b=1,\qquad ab=-\frac{1}{4p^2} $$

が成り立つ。これを用いて各問を処理する。

解法1

**(1)**

$C_1:y=px^2$ の接線の傾きは

$$ y'=2px $$

であり，$C_2:y=-px^2+2px+\dfrac{1}{2p}$ の接線の傾きは

$$ y'=-2px+2p=2p(1-x) $$

である。

点 $A$ におけるそれぞれの傾きを $m_1,m_2$ とすると，

$$ m_1=2pa,\qquad m_2=2p(1-a) $$

である。ここで $a$ は方程式

$$ x^2-x-\frac{1}{4p^2}=0 $$

の解であるから，

$$ a^2-a-\frac{1}{4p^2}=0 $$

すなわち

$$ a(1-a)=-\frac{1}{4p^2} $$

が成り立つ。よって

$$ m_1m_2=(2pa)\cdot 2p(1-a)=4p^2a(1-a)=-1 $$

となる。したがって，点 $A$ における $C_1$ の接線と $C_2$ の接線は垂直である。

同様に，$b$ も同じ二次方程式の解であるから

$$ b(1-b)=-\frac{1}{4p^2} $$

であり，点 $B$ における両曲線の接線の傾きを $n_1,n_2$ とすると

$$ n_1=2pb,\qquad n_2=2p(1-b) $$

より

$$ n_1n_2=(2pb)\cdot 2p(1-b)=4p^2b(1-b)=-1 $$

となる。したがって，点 $B$ においても $C_1$ の接線と $C_2$ の接線は垂直である。

**(2)**

$C_2-C_1$ を計算すると

$$ \left(-px^2+2px+\frac{1}{2p}\right)-px^2 =-2px^2+2px+\frac{1}{2p} $$

である。

さらに，$a,b$ は $x^2-x-\dfrac{1}{4p^2}=0$ の解であるから，

$$ x^2-x-\frac{1}{4p^2}=(x-a)(x-b) $$

であり，

$$ -2px^2+2px+\frac{1}{2p} =-2p\left(x^2-x-\frac{1}{4p^2}\right) =-2p(x-a)(x-b) $$

となる。区間 $[a,b]$ では $(x-a)\geqq 0,\ (x-b)\leqq 0$ なので，

$$ S=\int_a^b \left\{\left(-px^2+2px+\frac{1}{2p}\right)-px^2\right\},dx =\int_a^b 2p(b-x)(x-a),dx $$

と表せる。

ここで

$$ x=a+(b-a)t\qquad (0\leqq t\leqq 1) $$

とおくと，

$$ dx=(b-a),dt,\qquad x-a=(b-a)t,\qquad b-x=(b-a)(1-t) $$

であるから，

$$ \begin{aligned} S &=2p\int_0^1 (b-a)(1-t),(b-a)t,(b-a),dt \\ &=2p(b-a)^3\int_0^1 t(1-t),dt \\ &=2p(b-a)^3\left(\frac12-\frac13\right) \\ &=\frac{p}{3}(b-a)^3 \end{aligned} $$

を得る。

一方，

$$ a,b=\frac{1\pm \sqrt{1+\frac{1}{p^2}}}{2} $$

であるから，

$$ b-a=\sqrt{1+\frac{1}{p^2}}=\frac{\sqrt{p^2+1}}{p} $$

である。よって

$$ S=\frac{p}{3}\left(\frac{\sqrt{p^2+1}}{p}\right)^3 =\frac{(p^2+1)^{3/2}}{3p^2} $$

となる。

**(3)**

$p=\tan\theta\ \left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ とおくと，

$$ p^2+1=\tan^2\theta+1=\sec^2\theta $$

より

$$ S=\frac{(p^2+1)^{3/2}}{3p^2} =\frac{\sec^3\theta}{3\tan^2\theta} =\frac{1}{3\sin^2\theta\cos\theta} $$

となる。

したがって $S$ を最小にするには，

$$ f(\theta)=\sin^2\theta\cos\theta $$

を最大にすればよい。

微分すると

$$ \begin{aligned} f'(\theta) &=2\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta \\ &=\sin\theta(2\cos^2\theta-\sin^2\theta) \end{aligned} $$

である。$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では $\sin\theta>0$ なので，

$$ f'(\theta)=0 $$

は

$$ 2\cos^2\theta-\sin^2\theta=0 $$

すなわち

$$ 2(1-\sin^2\theta)-\sin^2\theta=0 $$

より

$$ \sin^2\theta=\frac23,\qquad \cos^2\theta=\frac13 $$

のときである。このとき

$$ f(\theta)=\sin^2\theta\cos\theta=\frac23\cdot \frac{1}{\sqrt3}=\frac{2}{3\sqrt3} $$

となるから，

$$ S_{\min}=\frac{1}{3\cdot \frac{2}{3\sqrt3}}=\frac{\sqrt3}{2} $$

である。

なお，このとき

$$ p=\tan\theta=\sqrt2 $$

である。

解説

交点の $x$ 座標が満たす二次方程式

$$ x^2-x-\frac{1}{4p^2}=0 $$

を先に作ることが全体の要点である。

（1） では，接線の傾きの積を $4p^2x(1-x)$ の形にして，交点では $x(1-x)=-\dfrac{1}{4p^2}$ となることを使えば一行で垂直性が示せる。

（2） では，被積分関数を $-2p(x-a)(x-b)$ と因数分解すると，囲まれた面積が扱いやすくなる。 特に $b-a$ が求まれば，面積は $\dfrac{p}{3}(b-a)^3$ と簡潔に表せる。

（3） では $p=\tan\theta$ とおくことで $p^2+1=\sec^2\theta$ となり，式が三角関数1変数の最大値問題に変わる。これが指定された置換の狙いである。

答え

**(1)**

点 $A$ においても点 $B$ においても，$C_1$ の接線と $C_2$ の接線の傾きの積は $-1$ である。したがって，いずれの点でも両接線は垂直である。

**(2)**

$$ S=\frac{(p^2+1)^{3/2}}{3p^2} $$

**(3)**

$$ S_{\min}=\frac{\sqrt3}{2} $$

であり，そのとき

$$ p=\sqrt2 $$

である。