解説

方針・初手

まず （1） は $f(x)$ を微分して極値を調べる。

（2） は共有点の条件 $f(x)=g(x)$ を整理する。すると $x^3$ の項が消えて二次方程式になるので，その判別式で共有点が $2$ 個となる条件を求める。

（3） は共有点の $x$ 座標を $x_1<x_2$ とおき，$f(x)-g(x)$ を $(x-x_1)(x-x_2)$ の形に因数分解して面積を計算する。

（4） は （3） で得た $S(a)$ を用いて $\dfrac{S(a)}{a}$ を最大化する。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=x^3-ax+a $$

より，

$$ f'(x)=3x^2-a $$

である。したがって極値をとるのは

$$ 3x^2-a=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\pm \sqrt{\frac{a}{3}} $$

のときである。

さらに，

$$ f''(x)=6x $$

より， $x=-\sqrt{\dfrac{a}{3}}$ では $f''(x)<0$ なので極大， $x=\sqrt{\dfrac{a}{3}}$ では $f''(x)>0$ なので極小である。

極大値，極小値はそれぞれ

$$ \begin{aligned} f\left(-\sqrt{\frac{a}{3}}\right) &= -\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)^3 +a\sqrt{\frac{a}{3}}+a &= a+\frac{2a^{3/2}}{3\sqrt{3}} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} f\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right) &= \left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)^3 -a\sqrt{\frac{a}{3}}+a &= a-\frac{2a^{3/2}}{3\sqrt{3}} \end{aligned} $$

である。

したがって，$f(x)$ は

$$ x=-\sqrt{\frac{a}{3}} $$

で極大値

$$ a+\frac{2a^{3/2}}{3\sqrt{3}} $$

をとり，

$$ x=\sqrt{\frac{a}{3}} $$

で極小値

$$ a-\frac{2a^{3/2}}{3\sqrt{3}} $$

をとる。

**(2)**

共有点は $f(x)=g(x)$ を満たす $x$ に対応するから，

$$ x^3-ax+a=(x+a)^3 $$

を解けばよい。右辺を展開すると，

$$ x^3-ax+a=x^3+3ax^2+3a^2x+a^3 $$

よって，

$$ 3ax^2+(3a^2+a)x+a^3-a=0 $$

すなわち，

$$ a{3x^2+(3a+1)x+a^2-1}=0 $$

となる。ここで $a>0$ なので，

$$ 3x^2+(3a+1)x+a^2-1=0 $$

が共有点の $x$ 座標を与える二次方程式である。

共有点の個数が $2$ 個であるためには，この二次方程式が異なる $2$ 実根をもてばよい。したがって判別式 $\Delta$ について

$$ \Delta=(3a+1)^2-12(a^2-1)>0 $$

が必要十分である。

計算すると，

$$ \Delta=9a^2+6a+1-12a^2+12=-3a^2+6a+13 $$

ゆえに，

$$ -3a^2+6a+13>0 $$

$$ 3a^2-6a-13<0 $$

となる。これを解くと，

$$ a=1\pm \frac{4}{\sqrt{3}} $$

だから，

$$ 1-\frac{4}{\sqrt{3}}<a<1+\frac{4}{\sqrt{3}} $$

である。さらに $a>0$ より，

$$ 0<a<1+\frac{4}{\sqrt{3}} $$

となる。

**(3)**

（2） の範囲で $a$ をとるとき，二次方程式

$$ 3x^2+(3a+1)x+a^2-1=0 $$

は異なる $2$ 実根をもつ。これを $x_1<x_2$ とする。

このとき，

$$ 3x^2+(3a+1)x+a^2-1=3(x-x_1)(x-x_2) $$

なので，

$$ \begin{aligned} f(x)-g(x) &= -a{3x^2+(3a+1)x+a^2-1} \\ -3a(x-x_1)(x-x_2) \end{aligned} $$

である。したがって $x_1<x<x_2$ では $(x-x_1)(x-x_2)<0$ だから，

$$ f(x)-g(x)>0 $$

となり，区間 $[x_1,x_2]$ では $y=f(x)$ が上，$y=g(x)$ が下にある。

よって面積 $S(a)$ は

$$ S(a)=\int_{x_1}^{x_2}{f(x)-g(x)},dx =3a\int_{x_1}^{x_2}(x-x_1)(x_2-x),dx $$

となる。

ここで

$$ d=x_2-x_1 $$

とおき，$t=x-x_1$ と変数変換すると，

$$ S(a)=3a\int_0^d t(d-t),dt $$

である。計算すると，

$$ \begin{aligned} \int_0^d t(d-t),dt &= \int_0^d (dt-t^2),dt \\ \frac{d^3}{2}-\frac{d^3}{3} \\ \frac{d^3}{6} \end{aligned} $$

だから，

$$ S(a)=3a\cdot \frac{d^3}{6} =\frac{a}{2}d^3 $$

となる。

一方，二次方程式の解は

$$ x_{1,2}=\frac{-(3a+1)\pm \sqrt{\Delta}}{6} \quad \left(\Delta=-3a^2+6a+13\right) $$

であるから，

$$ x_2-x_1=\frac{\sqrt{\Delta}}{3} $$

である。したがって，

$$ \begin{aligned} S(a) &= \frac{a}{2}\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{3}\right)^3 \\ \frac{a}{54}\Delta^{3/2} \end{aligned} $$

すなわち，

$$ S(a)=\frac{a}{54}\left(-3a^2+6a+13\right)^{3/2} $$

である。

**(4)**

（3） より，

$$ \begin{aligned} \frac{S(a)}{a} &= \frac{1}{54}\left(-3a^2+6a+13\right)^{3/2} \end{aligned} $$

である。

ここで $a$ は

$$ 0<a<1+\frac{4}{\sqrt{3}} $$

を動く。また，$t>0$ で $t^{3/2}$ は単調増加だから， $\dfrac{S(a)}{a}$ を最大にするには

$$ -3a^2+6a+13 $$

を最大にすればよい。

これは下に凸の二次関数であり，

$$ -3a^2+6a+13=-3(a-1)^2+16 $$

より最大値は $a=1$ のときの $16$ である。

したがって，

$$ \begin{aligned} \max \frac{S(a)}{a} &= \frac{1}{54}\cdot 16^{3/2} \\ \frac{1}{54}\cdot 64 \\ \frac{32}{27} \end{aligned} $$

であり，そのとき

$$ a=1 $$

である。

解説

この問題の本質は，$f(x)$ と $g(x)$ がともに三次関数であっても，方程式 $f(x)=g(x)$ を作ると $x^3$ の項が消えて二次方程式になる点にある。したがって共有点の個数は判別式だけで処理できる。

また面積計算では，$f(x)-g(x)$ を共有点 $x_1,x_2$ を用いて

$$ -3a(x-x_1)(x-x_2) $$

と因数分解するのが有効である。これにより，原始関数を直接計算するよりも簡潔に面積を求められる。

答え

**(1)**

$f(x)$ は

$$ x=-\sqrt{\frac{a}{3}} $$

で極大値

$$ a+\frac{2a^{3/2}}{3\sqrt{3}} $$

をとり，

$$ x=\sqrt{\frac{a}{3}} $$

で極小値

$$ a-\frac{2a^{3/2}}{3\sqrt{3}} $$

をとる。

**(2)**

共有点の個数が $2$ 個となる $a$ の範囲は

$$ 0<a<1+\frac{4}{\sqrt{3}} $$

である。

**(3)**

$$ S(a)=\frac{a}{54}\left(-3a^2+6a+13\right)^{3/2} $$

である。

**(4)**

$$ \frac{S(a)}{a} $$

の最大値は

$$ \frac{32}{27} $$

であり，そのとき

$$ a=1 $$

である。