解説

方針・初手

共通の接線をもつという条件は、共通点での関数値の一致に加えて、そこでの微分係数の一致を意味する。

ただし $C_1$ は絶対値を含むので、まず

$$ y=|x^2-1| = \begin{cases} x^2-1 & (|x|\ge 1),\\ 1-x^2 & (|x|<1) \end{cases} $$

と場合分けして考える必要がある。どちらの枝で接しているかを判定し、その後に囲まれる部分の面積を積分で求める。

解法1

$C_2$ は

$$ y=x^2-2\alpha x+2 $$

である。

共通点 $(x_0,y_0)$ において共通の接線をもつので、$C_1,\ C_2$ の値と微分係数が一致する。

（i） $|x_0|>1$ の場合

このとき $C_1$ は

$$ y=x^2-1 $$

であるから、共通点で

$$ x_0^2-1=x_0^2-2\alpha x_0+2 $$

より

$$ 2\alpha x_0=3 $$

を得る。

また、微分係数の一致より

$$ 2x_0=2x_0-2\alpha $$

となるので

$$ \alpha=0 $$

となる。しかし問題では $\alpha>0$ であるから矛盾する。

したがって、この場合は起こらない。

（ii） $|x_0|<1$ の場合

このとき $C_1$ は

$$ y=1-x^2 $$

である。

まず共通点の条件より

$$ 1-x_0^2=x_0^2-2\alpha x_0+2 $$

すなわち

$$ 2x_0^2-2\alpha x_0+1=0 $$

を得る。

次に微分係数の一致より

$$ -2x_0=2x_0-2\alpha $$

したがって

$$ \alpha=2x_0 $$

である。

これを先ほどの式に代入すると

$$ 2x_0^2-4x_0^2+1=0 $$

より

$$ x_0^2=\frac12 $$

となる。さらに $\alpha>0$ かつ $\alpha=2x_0$ だから $x_0>0$ であり、

$$ x_0=\frac{1}{\sqrt2},\qquad \alpha=\sqrt2 $$

である。

このとき

$$ y_0=1-x_0^2=1-\frac12=\frac12 $$

となる。

よって

$$ C_2:\ y=x^2-2\sqrt2,x+2 $$

である。

交点の確認

$|x|<1$ では $C_1$ は $y=1-x^2$ なので、$C_1$ と $C_2$ の交点は

$$ 1-x^2=x^2-2\sqrt2,x+2 $$

すなわち

$$ 2x^2-2\sqrt2,x+1=0 $$

である。これは

$$ ( \sqrt2,x-1 )^2=0 $$

となるから、

$$ x=\frac1{\sqrt2} $$

のみであり、ここが接点である。

一方、$x\ge 1$ では $C_1$ は $y=x^2-1$ なので、

$$ x^2-1=x^2-2\sqrt2,x+2 $$

より

$$ 2\sqrt2,x=3 $$

すなわち

$$ x=\frac{3}{2\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{4} $$

を得る。これは確かに $1$ より大きい。

したがって、$C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分は

$$ x=\frac1{\sqrt2} \quad \text{から} \quad x=\frac{3\sqrt2}{4} $$

までの間にあり、途中 $x=1$ で $C_1$ の式が切り替わる。

面積の計算

面積を $S$ とする。

$,\dfrac1{\sqrt2}\le x\le 1$

この範囲では $C_1: y=1-x^2$ だから、

$$ \begin{aligned} C_2-C_1 &= \left(x^2-2\sqrt2,x+2\right)-(1-x^2) \\ 2x^2-2\sqrt2,x+1 \end{aligned} $$

である。

$,1\le x\le \dfrac{3\sqrt2}{4}$

この範囲では $C_1: y=x^2-1$ だから、

$$ \begin{aligned} C_2-C_1 &= \left(x^2-2\sqrt2,x+2\right)-(x^2-1) \\ 3-2\sqrt2,x \end{aligned} $$

である。

よって

$$ S =

\int_{1/\sqrt2}^{1}(2x^2-2\sqrt2,x+1),dx + \int_{1}^{3\sqrt2/4}(3-2\sqrt2,x),dx $$

となる。

第1項は

$$ \begin{aligned} \int_{1/\sqrt2}^{1}(2x^2-2\sqrt2,x+1),dx &= \left[\frac23x^3-\sqrt2,x^2+x\right]_{1/\sqrt2}^{1} \\ \frac53-\frac{7\sqrt2}{6} \end{aligned} $$

第2項は

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{3\sqrt2/4}(3-2\sqrt2,x),dx &= \left[3x-\sqrt2,x^2\right]_{1}^{3\sqrt2/4} \\ \frac{17\sqrt2}{8}-3 \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} S = \\ \left(\frac53-\frac{7\sqrt2}{6}\right) + \left(\frac{17\sqrt2}{8}-3\right) &= \frac{23\sqrt2-32}{24} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、絶対値を含む曲線 $C_1$ をそのまま扱わず、まず枝ごとに分けることである。

外側の枝 $y=x^2-1$ では、接線の傾き一致から $\alpha=0$ となってしまい不適である。したがって接点は内側の枝 $y=1-x^2$ 上にあるとすぐ分かる。

その後は、接点を決める条件が 「関数値一致」と「微分係数一致」の2本でちょうど決まり、$\alpha=\sqrt2$ が一意に定まる。面積計算では、$x=1$ を境に $C_1$ の式が変わるため、積分を2つに分けるのが本質である。

答え

求める面積は

$$ \frac{23\sqrt2-32}{24} $$

である。