解説

方針・初手

まず $y=x^3-4x^2+5x-6$ の増減と変曲点を調べ，曲線の概形をつかむ。

つぎに，$x=t$ における接線が原点を通る条件は 「接線の式に $(0,0)$ を代入して成り立つこと」 で表せるので，これを $t$ の方程式に直す。

最後に，求めた接線と曲線の交点を調べ，どちらが上側にあるかを確認して面積を積分で求める。

解法1

（1） 曲線 $C$ の概形を調べる。

$f(x)=x^3-4x^2+5x-6$ とおくと，

$$ f'(x)=3x^2-8x+5=(3x-5)(x-1) $$

である。

したがって，

• $x<1$ で $f'(x)>0$
• $1<x<\dfrac53$ で $f'(x)<0$
• $x>\dfrac53$ で $f'(x)>0$

となるので，$x=1$ で極大，$x=\dfrac53$ で極小をとる。

それぞれの値は

$$ f(1)=1-4+5-6=-4 $$

$$ f\left(\frac53\right) =\frac{125}{27}-\frac{100}{9}+\frac{25}{3}-6 =-\frac{112}{27} $$

である。

また，

$$ f''(x)=6x-8 $$

より，$x=\dfrac43$ で変曲点をもち，

$$ f\left(\frac43\right) =\frac{64}{27}-\frac{64}{9}+\frac{20}{3}-6 =-\frac{110}{27} $$

である。

さらに，$y$ 軸との交点は

$$ f(0)=-6 $$

より $(0,-6)$ である。

$x$ 軸との交点は

$$ x^3-4x^2+5x-6=0 $$

を解けばよい。$x=3$ を代入すると $0$ になるから，

$$ x^3-4x^2+5x-6=(x-3)(x^2-x+2) $$

と因数分解できる。ここで

$$ x^2-x+2 $$

の判別式は

$$ (-1)^2-4\cdot1\cdot2=-7<0 $$

であるから，実数解は $x=3$ のみである。よって $x$ 軸との交点は $(3,0)$ ただ1つである。

以上より，曲線 $C$ は

• $(1,-4)$ で極大
• $\left(\dfrac53,-\dfrac{112}{27}\right)$ で極小
• $\left(\dfrac43,-\dfrac{110}{27}\right)$ で変曲
• $(0,-6)$ を通り
• $(3,0)$ で $x$ 軸とただ1回交わる

という概形をもつ。

（2） 原点を通る $C$ の接線を求める。

$C$ 上の点 $P(t,f(t))$ における接線を考えると，その式は

$$ y=f'(t)(x-t)+f(t) $$

である。

これが原点を通るための条件は，$(x,y)=(0,0)$ を代入して

$$ 0=f'(t)(-t)+f(t) $$

すなわち

$$ f(t)=t f'(t) $$

となることである。

ここで

$$ f(t)=t^3-4t^2+5t-6,\qquad f'(t)=3t^2-8t+5 $$

だから，

$$ t^3-4t^2+5t-6=t(3t^2-8t+5) $$

$$ 2t^3-4t^2+6=0 $$

$$ t^3-2t^2+3=0 $$

となる。

これを因数分解すると，

$$ t^3-2t^2+3=(t+1)(t^2-3t+3) $$

である。さらに

$$ (-3)^2-4\cdot1\cdot3=9-12=-3<0 $$

より，$t^2-3t+3=0$ は実数解をもたない。したがって実数解は

$$ t=-1 $$

ただ1つである。

よって，原点を通る接線はただ1つであり，その接点は

$$ \left(-1,f(-1)\right)=(-1,-16) $$

である。

また，そのときの傾きは

$$ f'(-1)=3+8+5=16 $$

だから，接線の方程式は

$$ y=16(x+1)-16=16x $$

である。

（3） 曲線 $C$ と （2） の接線で囲まれる図形の面積を求める。

曲線と接線 $y=16x$ の交点は

$$ x^3-4x^2+5x-6=16x $$

すなわち

$$ x^3-4x^2-11x-6=0 $$

を解けばよい。

$x=-1$ は接点なので重解であり，実際に

$$ x^3-4x^2-11x-6=(x+1)^2(x-6) $$

と因数分解できる。したがって交点の $x$ 座標は

$$ x=-1,\ 6 $$

である。

ここで

$$ f(x)-16x=(x+1)^2(x-6) $$

であるから，$-1<x<6$ では

$$ (x+1)^2>0,\quad x-6<0 $$

より

$$ f(x)-16x<0 $$

となる。すなわち，区間 $[-1,6]$ では直線 $y=16x$ が曲線 $C$ の上側にある。

よって求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-1}^{6}{16x-(x^3-4x^2+5x-6)},dx $$

$$ =\int_{-1}^{6}(-x^3+4x^2+11x+6),dx $$

である。

積分すると，

$$ S=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}+\frac{11x^2}{2}+6x\right]_{-1}^{6} $$

となる。

$ x=6 $ のとき

$$ -\frac{6^4}{4}+\frac{4\cdot6^3}{3}+\frac{11\cdot6^2}{2}+6\cdot6 =-324+288+198+36 =198 $$

$ x=-1 $ のとき

$$ -\frac{(-1)^4}{4}+\frac{4(-1)^3}{3}+\frac{11(-1)^2}{2}+6(-1) =-\frac14-\frac43+\frac{11}{2}-6 =-\frac{25}{12} $$

したがって，

$$ S=198-\left(-\frac{25}{12}\right) =\frac{2401}{12} $$

である。

解説

この問題の要点は，接線が原点を通る条件を図形的に考えるのではなく， 「$x=t$ における接線の式に原点を代入する」 という代数的条件に落とすことである。

また，面積では交点を求めたあとに

$$ f(x)-16x=(x+1)^2(x-6) $$

と因数分解できるため，どちらが上側かの判定が非常にしやすい。接点では重解になることも，接線との共有点を調べる際の重要な見方である。

答え

**(1)**

$C$ の概形は，増減が

$(-\infty,1)$ で増加

$\left(1,\dfrac53\right)$ で減少

$\left(\dfrac53,\infty\right)$ で増加

であり，極大点は $(1,-4)$，極小点は $\left(\dfrac53,-\dfrac{112}{27}\right)$，変曲点は $\left(\dfrac43,-\dfrac{110}{27}\right)$ である。$y$ 軸とは $(0,-6)$ で交わり，$x$ 軸とは $(3,0)$ でただ1回交わる。

**(2)**

原点を通る接線はただ1つであり，接点は

$$ (-1,-16) $$

接線の方程式は

$$ y=16x $$

である。

**(3)**

曲線 $C$ とその接線 $y=16x$ で囲まれる図形の面積は

$$ \frac{2401}{12} $$

である。