解説

方針・初手

$x=1$ で極小値 $13$ をとるので、まず

$$ f(1)=13,\qquad f'(1)=0 $$

を用いて $a,b$ を定める。

その後、具体的な $f(x)$ を得て導関数を因数分解すれば、増減と極値の位置が分かる。

また、同一直線が $x=p$ と $x=-p$ の 2 点で接するという条件は、接線の傾きが両点で一致することから処理できる。最後の面積は、直線 $\ell$ との差をとると簡単な形に整理できる。

解法1

**(1)**

$a,b$ を求める。

$$ f(x)=x^4+ax^2+bx+12 $$

より、

$$ f(1)=1+a+b+12=13 $$

であるから、

$$ a+b=0 $$

を得る。

次に、

$$ f'(x)=4x^3+2ax+b $$

である。$x=1$ で極小となるので、

$$ f'(1)=4+2a+b=0 $$

が成り立つ。

ここで $b=-a$ を代入すると、

$$ 4+2a-a=0 $$

すなわち

$$ a=-4,\qquad b=4 $$

となる。

したがって、

$$ f(x)=x^4-4x^2+4x+12 $$

である。

**(2)**

$f(x)$ の増減を調べ、極大値をとるときの $x$ の値を求める。

まず導関数を因数分解する。

$$ f'(x)=4x^3-8x+4=4(x^3-2x+1)=4(x-1)(x^2+x-1) $$

よって $f'(x)=0$ の解は

$$ x=1,\qquad x=\frac{-1-\sqrt5}{2},\qquad x=\frac{-1+\sqrt5}{2} $$

である。

これらを小さい順に並べると、

$$ \frac{-1-\sqrt5}{2}<\frac{-1+\sqrt5}{2}<1 $$

である。$f'(x)$ は 3 次式で最高次の係数が正なので、符号は左から順に

$$ -,\ +,\ -,\ + $$

と変化する。

したがって、$f(x)$ は

$$ \left(-\infty,\frac{-1-\sqrt5}{2}\right),\ \left(\frac{-1+\sqrt5}{2},1\right) $$

で減少し、

$$ \left(\frac{-1-\sqrt5}{2},\frac{-1+\sqrt5}{2}\right),\ (1,\infty) $$

で増加する。

よって、$f(x)$ が極大値をとるのは

$$ x=\frac{-1+\sqrt5}{2} $$

のときである。

（3） 曲線 $y=f(x)$ と直線 $\ell$ が異なる 2 点 $(p,f(p))$, $(-p,f(-p))$ で接しているとする。このとき、$p$ の値および直線 $\ell$ の方程式を求める。

直線 $\ell$ を

$$ y=mx+n $$

とおく。

$x=p$ と $x=-p$ で接するので、接線の傾きはそれぞれ等しく、

$$ f'(p)=m,\qquad f'(-p)=m $$

である。したがって

$$ f'(p)=f'(-p) $$

が成り立つ。

ここで

$$ f'(x)=4x^3-8x+4 $$

より、

$$ 4p^3-8p+4=-4p^3+8p+4 $$

となるから、

$$ 8p^3-16p=0 $$

すなわち

$$ 8p(p^2-2)=0 $$

を得る。$p>0$ より

$$ p=\sqrt2 $$

である。

次に傾き $m$ は

$$ m=f'(\sqrt2)=4(\sqrt2)^3-8\sqrt2+4=8\sqrt2-8\sqrt2+4=4 $$

である。

さらに、$\ell$ は点 $(\sqrt2,f(\sqrt2))$ を通るので、

$$ n=f(\sqrt2)-4\sqrt2 $$

である。ここで

$$ f(\sqrt2)=(\sqrt2)^4-4(\sqrt2)^2+4\sqrt2+12=4-8+4\sqrt2+12=8+4\sqrt2 $$

より、

$$ n=(8+4\sqrt2)-4\sqrt2=8 $$

となる。

よって、

$$ \ell:\ y=4x+8 $$

である。

（4） 曲線 $y=f(x)$ と直線 $\ell$ で囲まれた図形の面積を求める。

（3） より $\ell:y=4x+8$ であるから、

$$ f(x)-\ell=x^4-4x^2+4x+12-(4x+8)=x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2 $$

となる。

したがって、$x=\pm\sqrt2$ で両者は接し、その間では曲線が直線の上側にある。よって求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} (x^2-2)^2,dx $$

である。

被積分関数は偶関数なので、

$$ S=2\int_0^{\sqrt2}(x^4-4x^2+4),dx $$

となる。これを積分して

$$ S=2\left[\frac{x^5}{5}-\frac{4x^3}{3}+4x\right]_0^{\sqrt2} $$

である。

ここで

$$ (\sqrt2)^3=2\sqrt2,\qquad (\sqrt2)^5=4\sqrt2 $$

より、

$$ S=2\left(\frac{4\sqrt2}{5}-\frac{8\sqrt2}{3}+4\sqrt2\right) $$

となる。通分すると、

$$ \frac{4\sqrt2}{5}-\frac{8\sqrt2}{3}+4\sqrt2 =\frac{12\sqrt2-40\sqrt2+60\sqrt2}{15} =\frac{32\sqrt2}{15} $$

であるから、

$$ S=2\cdot \frac{32\sqrt2}{15} =\frac{64\sqrt2}{15} $$

となる。

解説

この問題の出発点は、「$x=1$ で極小値 $13$ をとる」という条件を

$$ f(1)=13,\qquad f'(1)=0 $$

の 2 本に分けることである。これにより $a,b$ がすぐ決まる。

（2） では、導関数の因数分解が本質である。3 つの臨界点が分かれば、符号変化から極大・極小の位置を機械的に判定できる。

（3） では、「同一直線が 2 点で接する」という条件を、まず傾きの一致

$$ f'(p)=f'(-p) $$

に落とすのが重要である。ここで $p=\sqrt2$ が出る。

（4） は、直線との差が

$$ f(x)-\ell=(x^2-2)^2 $$

と平方の形になるため、符号判定と面積計算が非常に簡潔になる。この整理ができるかどうかが計算量の分かれ目である。

答え

**(1)**

$$ a=-4,\qquad b=4 $$

**(2)**

$f(x)$ は

$$ \left(-\infty,\frac{-1-\sqrt5}{2}\right),\ \left(\frac{-1+\sqrt5}{2},1\right) $$

で減少し、

$$ \left(\frac{-1-\sqrt5}{2},\frac{-1+\sqrt5}{2}\right),\ (1,\infty) $$

で増加する。

したがって、極大値をとるときの $x$ の値は

$$ x=\frac{-1+\sqrt5}{2} $$

である。

**(3)**

$$ p=\sqrt2,\qquad \ell:\ y=4x+8 $$

**(4)**

求める面積は

$$ \frac{64\sqrt2}{15} $$

である。