解説

方針・初手

$x=1$ で極値 $3$ をとるので、まず

$$ f'(1)=0,\qquad f(1)=3 $$

を用いて $a,b$ を決定する。

その後、$x=2$ における接線を求める。

（3） では、放物線の接線が直線 $\ell$ と一致するので、「傾きが一致すること」と「接点を通る接線の式が一致すること」の2条件を使う。

（4） では、3つのグラフの交点関係を確認し、どの区間でどの曲線が上側の境界になるかを整理してから面積を積分で求める。

解法1

$f(x)=-x^3+ax^2-11x+b$ より、

$$ f'(x)=-3x^2+2ax-11 $$

である。

$x=1$ で極値をとるから、

$$ f'(1)=0 $$

であり、

$$ -3+2a-11=0 $$

すなわち

$$ 2a-14=0 $$

より、

$$ a=7 $$

を得る。

また、その極値が $3$ であるから、

$$ f(1)=3 $$

である。したがって、

$$ -1+7-11+b=3 $$

より

$$ -5+b=3 $$

となるので、

$$ b=8 $$

である。

よって

$$ f(x)=-x^3+7x^2-11x+8 $$

となる。

（2） 接線 $\ell$ の方程式

まず

$$ f(2)=-8+28-22+8=6 $$

であり、

$$ f'(2)=-12+28-11=5 $$

である。

したがって、点 $(2,6)$ における接線 $\ell$ は

$$ y-6=5(x-2) $$

すなわち

$$ \ell:\ y=5x-4 $$

である。

（3） $c,p$ の値

放物線を

$$ g(x)=3x^2+17x+c $$

とおく。

その導関数は

$$ g'(x)=6x+17 $$

である。

$x=p$ における接線が $\ell$ と一致するためには、まず傾きが等しいので

$$ g'(p)=5 $$

すなわち

$$ 6p+17=5 $$

より

$$ 6p=-12 $$

となり、

$$ p=-2 $$

である。

次に、$x=-2$ における接線の式を求める。

$$ g(-2)=3\cdot4+17(-2)+c=12-34+c=c-22 $$

であるから、接線は

$$ y-(c-22)=5(x+2) $$

すなわち

$$ y=5x+c-12 $$

となる。

これが $\ell:\ y=5x-4$ と一致するので、

$$ c-12=-4 $$

より

$$ c=8 $$

である。

したがって、

$$ p=-2,\qquad c=8 $$

を得る。

（4） 面積

（3） より放物線は

$$ y=3x^2+17x+8 $$

である。

まず、曲線 $y=f(x)$ と直線 $\ell$ の差を調べると、

$$ f(x)-(5x-4) =-x^3+7x^2-16x+12 $$

であり、これは

$$ -x^3+7x^2-16x+12 =-(x-2)^2(x-3) $$

と因数分解できる。

したがって、$-2\leqq x\leqq 2$ では $x-3<0$ であるから、

$$ f(x)-\ell(x)\geqq 0 $$

となり、曲線 $y=f(x)$ はこの範囲で直線 $\ell$ の上側にある。

次に、放物線と直線の差は

$$ (3x^2+17x+8)-(5x-4) =3x^2+12x+12 =3(x+2)^2 $$

であるから、

$$ 3x^2+17x+8\geqq 5x-4 $$

となり、放物線も直線 $\ell$ の上側にある。

さらに、曲線 $y=f(x)$ と放物線の差を調べると、

$$ f(x)-(3x^2+17x+8) =-x^3+4x^2-28x =-x(x^2-4x+28) $$

である。

ここで

$$ x^2-4x+28=(x-2)^2+24>0 $$

であるから、差の符号は $-x$ の符号で決まる。よって、

**(i)**

$-2\leqq x<0$ では $f(x)>3x^2+17x+8$

**(ii)**

$0<x\leqq 2$ では $f(x)<3x^2+17x+8$

となる。

したがって、求める図形は

• $-2\leqq x\leqq 0$ では「放物線」と「直線 $\ell$」にはさまれた部分
• $0\leqq x\leqq 2$ では「曲線 $y=f(x)$」と「直線 $\ell$」にはさまれた部分

の和である。

よって面積 $S$ は

$$ S=\int_{-2}^{0}\left\{(3x^2+17x+8)-(5x-4)\right\}dx +\int_{0}^{2}\left\{f(x)-(5x-4)\right\}dx $$

となる。

まず第1項は

$$ \int_{-2}^{0}3(x+2)^2,dx =3\int_{-2}^{0}(x+2)^2,dx $$

であり、$u=x+2$ とおくと

$$ 3\int_{0}^{2}u^2,du =3\left[\frac{u^3}{3}\right]_{0}^{2} =8 $$

となる。

次に第2項は

$$ \int_{0}^{2}(-x^3+7x^2-16x+12),dx $$

であるから、

$$ \left[-\frac{x^4}{4}+\frac{7x^3}{3}-8x^2+12x\right]_{0}^{2} =-4+\frac{56}{3}-32+24 =\frac{20}{3} $$

を得る。

したがって、

$$ S=8+\frac{20}{3}=\frac{44}{3} $$

である。

解説

この問題の核は、極値条件から係数を確定し、そのあと接線条件を「傾き」と「接線の式の一致」に分解して使うことである。

（4） では、ただ積分するのではなく、まず3つのグラフの位置関係を確認することが重要である。特に、曲線と放物線の大小関係が $x=0$ を境に入れ替わるため、面積を2つの区間に分ける必要がある。

答え

**(1)**

$$ a=7,\qquad b=8 $$

**(2)**

$$ \ell:\ y=5x-4 $$

**(3)**

$$ p=-2,\qquad c=8 $$

**(4)**

$$ \frac{44}{3} $$