解説

方針・初手

曲線 $C$ と直線 $\ell$ の交点は

$$ x^3-2x^2+x=ax $$

を解けばよい。左辺を整理すると $x$ でくくれるので、まず交点の $x$ 座標を因数分解で求める。

面積は、交点の位置関係を確かめたうえで、上側のグラフから下側のグラフを引いて積分する。

解法1

交点の $x$ 座標は

$$ x^3-2x^2+x=ax $$

すなわち

$$ x^3-2x^2+(1-a)x=0 $$

を満たす。これを因数分解すると

$$ x{x^2-2x+(1-a)}=0 $$

さらに

$$ x{(x-1)^2-a}=0 $$

となる。したがって交点の $x$ 座標は

$$ x=0,\quad x=1-\sqrt{a},\quad x=1+\sqrt{a} $$

である。ただし後ろの 2 つが実数であるためには $a\geqq0$ が必要である。

（1） 異なる 3 点で交わる条件

異なる 3 点で交わるためには、上の 3 つの値が相異なる実数であればよい。

まず $1-\sqrt{a},,1+\sqrt{a}$ が異なる実数であるためには

$$ a>0 $$

が必要である。

さらに $x=0$ と一致しないためには

$$ 1-\sqrt{a}\neq 0 $$

すなわち

$$ a\neq 1 $$

が必要である。

よって条件は

$$ a>0,\quad a\neq 1 $$

である。

（2） 面積 $S$ を $a$ で表す

このとき交点の $x$ 座標を $0,\alpha,\beta$ とし、$0<\alpha<\beta$ としているから、

$$ \alpha=1-\sqrt{a},\quad \beta=1+\sqrt{a} $$

であり、特に

$$ 0<1-\sqrt{a} $$

より

$$ 0<a<1 $$

が成り立つ。

$\alpha\leqq x\leqq \beta$ において、曲線と直線の差は

$$ (x^3-2x^2+x)-ax = x{(x-1)^2-a} = x(x-\alpha)(x-\beta) $$

である。ここで $x>0,\ x-\alpha\geqq 0,\ x-\beta\leqq 0$ だから

$$ x(x-\alpha)(x-\beta)\leqq 0 $$

となる。したがってこの区間では直線 $\ell$ が曲線 $C$ の上側にある。

よって面積 $S$ は

$$ S=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{ax-(x^3-2x^2+x)\right\},dx $$

である。$\alpha=1-\sqrt{a},\ \beta=1+\sqrt{a}$ を用いて

$$ S=\int_{1-\sqrt{a}}^{1+\sqrt{a}} x{a-(x-1)^2},dx $$

と書ける。ここで

$$ t=x-1 $$

とおくと、$x=t+1$ であり、積分区間は $t=-\sqrt{a}$ から $t=\sqrt{a}$ に変わる。したがって

$$ S=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (t+1)(a-t^2),dt $$

となる。これを展開すると

$$ S=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} {t(a-t^2)+(a-t^2)},dt $$

である。$t(a-t^2)$ は奇関数なので、その積分は $0$ になる。よって

$$ S=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-t^2),dt $$

となり、

$$ S=2\int_{0}^{\sqrt{a}} (a-t^2),dt $$

である。これを計算すると

$$ \begin{aligned} S &=2\left[at-\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{\sqrt{a}} \\ &=2\left(a\sqrt{a}-\frac{(\sqrt{a})^3}{3}\right) \\ &=2\left(a^{3/2}-\frac{a^{3/2}}{3}\right) \\ &=\frac{4}{3}a^{3/2} \end{aligned} $$

となる。

解説

交点の問題では、まず方程式を整理して因数分解し、交点の個数を「実数解がいくつあるか」に言い換えるのが基本である。

本問では

$$ x{(x-1)^2-a}=0 $$

まで落とせるので、$x=0$ が常に交点であり、残り 2 つの交点は $(x-1)^2=a$ の解としてすぐに分かる。

面積計算では、単に積分する前に、どちらが上側かを符号で確認する必要がある。また、交点が $1-\sqrt{a}$ と $1+\sqrt{a}$ の形になっているので、$x-1=t$ とおくと対称性が使え、計算が大きく簡単になる。

答え

**(1)**

曲線 $C$ と直線 $\ell$ が異なる 3 点で交わる条件は

$$ a>0,\quad a\neq 1 $$

である。

**(2)**

$0<\alpha<\beta$ として面積 $S$ を考えると、このとき $0<a<1$ であり、

$$ S=\frac{4}{3}a^{3/2} $$

である。