解説

方針・初手

2点 $(0,0),(2,2)$ における接線が同一の直線であるから，その接線はこの2点をともに通る。したがってまず共通接線 $\ell$ を求めると，

$$ \ell:\ y=x $$

である。

そこで $f(x)-x$ を考えると，$x=0,2$ で値も微分係数も $0$ になるので，$0,2$ はともに重解である。このことから $f(x)$ を一気に決定できる。

解法1

**(1)**

$f(x)$ を求める。

$\ell$ は $(0,0)$ と $(2,2)$ を通るので，

$$ \ell:\ y=x $$

である。

ここで

$$ g(x)=f(x)-x $$

とおくと，条件より

$$ g(0)=0,\quad g'(0)=0,\quad g(2)=0,\quad g'(2)=0 $$

が成り立つ。よって $x=0,2$ はともに $g(x)$ の重解であるから，

$$ g(x)=k x^2(x-2)^2 $$

と書ける。

$f(x)$ は4次式で，$x^4$ の係数が $1$ であるから，$g(x)=f(x)-x$ も $x^4$ の係数が $1$ の4次式である。したがって $k=1$ である。

ゆえに

$$ f(x)=x+x^2(x-2)^2 $$

すなわち

$$ f(x)=x^4-4x^3+4x^2+x $$

である。

**(2)**

$\ell$ と平行で，$\ell$ と異なる接線 $\ell'$ を求める。

$\ell$ の傾きは $1$ であるから，$\ell'$ も傾き $1$ をもつ。したがって，$C$ 上で接線の傾きが $1$ になる点を調べればよい。

$$ f(x)=x+x^2(x-2)^2 $$

より，

$$ f'(x)=1+\frac{d}{dx}\left(x^2(x-2)^2\right) $$

であり，

$$ \frac{d}{dx}\left(x^2(x-2)^2\right) =2x(x-2)^2+2x^2(x-2) =2x(x-2){(x-2)+x} =4x(x-1)(x-2) $$

だから，

$$ f'(x)=1+4x(x-1)(x-2) $$

となる。

これが $1$ になるのは

$$ 4x(x-1)(x-2)=0 $$

すなわち

$$ x=0,1,2 $$

である。

$x=0,2$ はもとの接線 $\ell$ に対応するので，$\ell'$ は $x=1$ における接線である。

このとき

$$ f(1)=1+1^2(1-2)^2=2 $$

より接点は $(1,2)$ である。したがって

$$ \ell':\ y-2=1(x-1) $$

すなわち

$$ \ell':\ y=x+1 $$

である。

**(3)**

$\ell'$ と $C$ で囲まれた2つの部分の面積の和を求める。

$\ell'$ と $C$ の交点は

$$ f(x)=x+1 $$

より求まる。

$$ x+x^2(x-2)^2=x+1 $$

すなわち

$$ x^2(x-2)^2=1 $$

である。これを変形すると，

$$ x^2(x-2)^2-1=0 $$

$$ {x(x-2)-1}{x(x-2)+1}=0 $$

となるので，

$$ x^2-2x-1=0 \quad \text{または} \quad x^2-2x+1=0 $$

である。よって

$$ x=1\pm\sqrt{2},\quad x=1 $$

を得る。$x=1$ は接点であり，これによって囲まれた部分が2つに分かれる。

面積の和 $S$ は，区間 $[1-\sqrt2,,1+\sqrt2]$ で $\ell'$ が $C$ の上側にあるので，

$$ S=\int_{1-\sqrt2}^{1+\sqrt2}{(x+1)-f(x)},dx $$

である。

ここで $t=x-1$ とおくと，

$$ x^2(x-2)^2={(x-1)^2-1}^2=(t^2-1)^2 $$

であるから，

$$ (x+1)-f(x) =1-x^2(x-2)^2 =1-(t^2-1)^2 =2t^2-t^4 $$

となる。また積分区間は $t=-\sqrt2$ から $t=\sqrt2$ に移る。よって

$$ S=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(2t^2-t^4),dt =2\int_0^{\sqrt2}(2t^2-t^4),dt $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} S &=2\left[\frac{2}{3}t^3-\frac{1}{5}t^5\right]_0^{\sqrt2} \\ &=2\left(\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt2-\frac{1}{5}\cdot 4\sqrt2\right) \\ &=2\left(\frac{4\sqrt2}{3}-\frac{4\sqrt2}{5}\right) \\ &=\frac{16\sqrt2}{15} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は，共通接線が $y=x$ と分かった時点で $f(x)-x$ を考えることである。接点では「曲線と接線が接する」ので，値が一致するだけでなく，差が重解をもつ。したがって $f(x)-x$ は $x=0,2$ を重解にもつ4次式となり，すぐに

$$ f(x)-x=x^2(x-2)^2 $$

と決まる。

（2） では「$\ell$ と平行」という条件が「接線の傾きが $1$」という条件に言い換わるので，$f'(x)=1$ を解けばよい。

（3） では $\ell'$ と $C$ の差が $x=1$ を中心とする偶関数の形になり，積分が対称性で簡単になる。

答え

**(1)**

$$ f(x)=x+x^2(x-2)^2=x^4-4x^3+4x^2+x $$

**(2)**

$$ \ell':\ y=x+1 $$

**(3)**

面積の和は

$$ \frac{16\sqrt2}{15} $$

である。