解説

方針・初手

2点 $(0,0),(2,2)$ における接線が同一直線 $\ell$ であるから、その直線はこの2点を通る。したがって

$$ \ell:\ y=x $$

である。

そこで $f(x)-x$ を考えると、$x=0,2$ で値も微分係数も $0$ になる。すなわち $x=0,2$ はともに重解であるから、$f(x)-x$ は $x^2(x-2)^2$ に一致する。

解法1

まず

$$ g(x)=f(x)-x $$

とおく。

すると、$\ell:y=x$ が $x=0,2$ における接線であることから

$$ g(0)=0,\quad g'(0)=0,\quad g(2)=0,\quad g'(2)=0 $$

が成り立つ。

よって $x=0,2$ はともに $g(x)$ の重解である。しかも $f(x)$ は4次式で $x^4$ の係数が $1$ なので、$g(x)=f(x)-x$ も4次式で最高次係数は $1$ である。したがって

$$ g(x)=x^2(x-2)^2 $$

となる。

ゆえに

$$ f(x)=x+x^2(x-2)^2 $$

であり、展開すると

$$ f(x)=x^4-4x^3+4x^2+x $$

を得る。これで （1） は求まった。

次に、$\ell$ と平行な接線 $\ell'$ を求める。$\ell$ の傾きは $1$ なので、$\ell'$ も傾き $1$ をもつ。したがって、接点の $x$ 座標を $a$ とすると

$$ f'(a)=1 $$

を満たす。

$f(x)=x+x^2(x-2)^2$ を微分すると

$$ f'(x)=1+4x(x-1)(x-2) $$

であるから、

$$ f'(x)=1 $$

は

$$ 4x(x-1)(x-2)=0 $$

すなわち

$$ x=0,1,2 $$

を与える。

$x=0,2$ はもとの接線 $\ell$ に対応するので、$\ell$ と異なる平行な接線は $x=1$ における接線である。

このとき

$$ f(1)=1+1^2(1-2)^2=2 $$

だから、接点は $(1,2)$ である。傾き $1$ の接線は

$$ y-2=1(x-1) $$

すなわち

$$ \ell':\ y=x+1 $$

である。これで （2） は求まった。

最後に、$\ell'$ と $C$ で囲まれた2つの部分の面積の和を求める。

$\ell'$ と $C$ の差をみると

$$ f(x)-(x+1)=x^2(x-2)^2-1 $$

であり、これを変形すると

$$ f(x)-(x+1)=x^4-4x^3+4x^2-1 =(x^2-2x)^2-1 =(x^2-2x-1)(x^2-2x+1) $$

さらに

$$ x^2-2x+1=(x-1)^2 $$

より

$$ f(x)-(x+1)=(x-1)^2(x^2-2x-1) $$

となる。

したがって交点は

$$ (x-1)^2=0 \quad \text{または} \quad x^2-2x-1=0 $$

より

$$ x=1,\quad x=1\pm \sqrt{2} $$

である。ここで $x=1$ は重解であり接点、$x=1\pm\sqrt{2}$ は通常の交点である。区間 $1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}$ では

$$ x^2-2x-1=(x-1)^2-2<0 $$

なので

$$ f(x)<x+1 $$

が成り立つ。よって求める面積の和 $S$ は

$$ S=\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}}{(x+1)-f(x)},dx $$

で与えられる。

ここで $t=x-1$ とおくと、積分区間は $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ となり、

$$ (x+1)-f(x)=1-x^2(x-2)^2 =1-(x^2-2x)^2 =1-(t^2-1)^2 =2t^2-t^4 $$

である。したがって

$$ S=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(2t^2-t^4),dt =2\int_0^{\sqrt{2}}(2t^2-t^4),dt $$

となる。

計算すると

$$ \begin{aligned} S &=2\left[\frac{2}{3}t^3-\frac{1}{5}t^5\right]_0^{\sqrt{2}} \\ &=2\left(\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}-\frac{1}{5}\cdot 4\sqrt{2}\right) \\ &=2\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{4\sqrt{2}}{5}\right) \\ &=2\cdot \frac{8\sqrt{2}}{15} \\ &=\frac{16\sqrt{2}}{15} \end{aligned} $$

を得る。これで （3） も求まった。

解説

この問題の核心は、「同じ直線が2点で接線になる」という条件を、$f(x)-x$ が $x=0,2$ を重解にもつことに読み替えることである。これにより4次式が一気に確定する。

（2） では、$\ell$ と平行な接線を求めるために「傾きが等しい」という条件、すなわち $f'(x)=1$ を立てればよい。

（3） では、$\ell'$ と $C$ の交点を調べ、どこで上下関係がどうなるかを確認してから積分するのが基本である。接点 $x=1$ は重解なので、そこで交わるのではなく接しているだけであることに注意する。

答え

**(1)**

$$ f(x)=x+x^2(x-2)^2=x^4-4x^3+4x^2+x $$

**(2)**

$$ \ell':\ y=x+1 $$

**(3)**

$$ \frac{16\sqrt{2}}{15} $$