解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $t$ とおいて接線の方程式を表し，その接線が点 $(3,1)$ を通る条件を課す。すると接点が2つ求まり，傾きが正の接線 $\ell$ と負の接線 $m$ が決まる。

面積は，放物線と2本の接線にはさまれた部分を，$x=3$ を境に2つの積分に分けて求める。

解法1

放物線

$$ y=x^2-5x+8 $$

上の点 $(t,\ t^2-5t+8)$ における接線を求める。

微分すると

$$ y'=2x-5 $$

であるから，接点の $x$ 座標が $t$ のとき接線の傾きは $2t-5$ である。したがって接線の方程式は

$$ y=(2t-5)(x-t)+t^2-5t+8 $$

これを整理すると

$$ y=(2t-5)x-t^2+8 $$

となる。

この接線が点 $(3,1)$ を通るから，

$$ 1=3(2t-5)-t^2+8 $$

すなわち

$$ t^2-6t+8=0 $$

である。よって

$$ (t-2)(t-4)=0 $$

より

$$ t=2,\ 4 $$

を得る。

**(i)**

$t=2$ のとき

$$ y=(2\cdot2-5)x-2^2+8=-x+4 $$

であり，傾きは $-1$ である。これが $m$ である。

**(ii)**

$t=4$ のとき

$$ y=(2\cdot4-5)x-4^2+8=3x-8 $$

であり，傾きは $3$ である。これが $\ell$ である。

したがって，接線 $\ell$ の方程式は

$$ y=3x-8 $$

である。

次に面積を求める。接点は $t=2,4$ に対応するから，

$$ (2,2),\ (4,4) $$

である。また2本の接線はいずれも点 $(3,1)$ を通る。

よって，囲まれた部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_2^3 {(x^2-5x+8)-(-x+4)},dx+\int_3^4 {(x^2-5x+8)-(3x-8)},dx $$

となる。

各被積分関数を整理すると，

$$ x^2-5x+8-(-x+4)=x^2-4x+4=(x-2)^2 $$

$$ x^2-5x+8-(3x-8)=x^2-8x+16=(x-4)^2 $$

であるから，

$$ S=\int_2^3 (x-2)^2,dx+\int_3^4 (x-4)^2,dx $$

$$ =\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]_2^3+\left[\frac{(x-4)^3}{3}\right]_3^4 $$

$$ =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

したがって，求める面積は

$$ \frac{2}{3} $$

である。

解説

接線を求める典型手法は，接点を文字でおく方法である。放物線上の接点を $(t,\ t^2-5t+8)$ とおけば，接線の傾きも接線の式も $t$ で表せるので，あとは「点 $(3,1)$ を通る」という条件だけで接点が決まる。

面積については，2本の接線が点 $(3,1)$ で交わるため，$x=3$ を境に下側の直線が $m$ から $\ell$ に切り替わる。この切り替わりを見落とさず，積分を2つに分けることが重要である。

答え

$$ \text{(セ)}=3x-8 $$

$$ \text{(ソ)}=\frac{2}{3} $$