解説

方針・初手

直線

$$ y=ax-2a+1=a(x-2)+1 $$

と書き直すと，$a$ によらず通る点がすぐ分かる。

また，曲線 $C$ との交点は

$$ x^3-4x+1=ax-2a+1 $$

を解けばよい。これは $x=2$ を常にもつ三次方程式になるので，因数分解して交点の個数を調べる。

（3） では，交点のうち $x=2$ 以外の2つが対称な形で表せるので，$x+1=t$ とおくと面積計算が大きく簡単になる。

解法1

**(1)**

直線 $\ell$ は

$$ y=ax-2a+1=a(x-2)+1 $$

と変形できる。

したがって $x=2$ のとき，$a$ の値にかかわらず

$$ y=1 $$

となる。よって，$\ell$ は定点

$$ P(2,1) $$

を通る。

**(2)**

$\ell$ と $C$ の交点の $x$ 座標は

$$ x^3-4x+1=ax-2a+1 $$

すなわち

$$ x^3-(a+4)x+2a=0 $$

の解である。

（1） より $x=2$ は常に解であるから，

$$ x^3-(a+4)x+2a=(x-2)(x^2+2x-a) $$

と因数分解できる。

したがって，$\ell$ と $C$ が異なる3点で交わるための条件は， 二次方程式

$$ x^2+2x-a=0 $$

が異なる2つの実数解をもち，しかもそのどちらも $x=2$ でないことである。

まず，異なる2実根をもつ条件は判別式より

$$ 2^2-4\cdot 1\cdot(-a)=4(a+1)>0 $$

すなわち

$$ a>-1 $$

である。

次に，$x=2$ が二次方程式の解になると交点が重なるので，これを除く。実際，

$$ 2^2+2\cdot 2-a=8-a $$

より，$x=2$ が解となるのは

$$ a=8 $$

のときである。

よって求める条件は

$$ a>-1,\quad a\neq 8 $$

である。

**(3)**

$0<a<4$ のとき，二次方程式 $x^2+2x-a=0$ の2解を

$$ x=-1\pm \sqrt{a+1} $$

とおく。$0<a<4$ より

$$ 1<\sqrt{a+1}<\sqrt{5}<3 $$

だから，3つの交点の $x$ 座標は

$$ x_1=-1-\sqrt{a+1},\quad x_2=-1+\sqrt{a+1},\quad x_3=2 $$

であり，

$$ x_1<x_2<2 $$

となる。

ここで

$$ f(x)=(x^3-4x+1)-(ax-2a+1)=x^3-(a+4)x+2a $$

とおくと，

$$ f(x)=(x-2)(x^2+2x-a) $$

である。

区間 $(x_1,x_2)$ では $(x-2)<0,\ x^2+2x-a<0$ であるから $f(x)>0$ となる。したがって，この区間で曲線 $C$ は直線 $\ell$ の上方にある。求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{x_1}^{x_2}{(x^3-4x+1)-(ax-2a+1)},dx $$

である。

ここで

$$ b=\sqrt{a+1}\quad (1<b<\sqrt{5}) $$

とおき，さらに

$$ x=t-1 $$

とおくと，

$$ x_1=-1-b,\quad x_2=-1+b $$

より積分区間は $t=-b$ から $t=b$ になる。また，

$$ x-2=t-3,\quad x^2+2x-a=(x+1)^2-(a+1)=t^2-b^2 $$

だから

$$ f(x)=(t-3)(t^2-b^2) $$

となる。よって

$$ S=\int_{-b}^{b}(t-3)(t^2-b^2),dt $$

である。

これを展開すると

$$ (t-3)(t^2-b^2)=t^3-3t^2-b^2t+3b^2 $$

であり，奇関数部分 $t^3-b^2t$ の積分は $[-b,b]$ で打ち消し合うから，

$$ S=\int_{-b}^{b}(-3t^2+3b^2),dt =3\int_{-b}^{b}(b^2-t^2),dt $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} S &=3\left[b^2t-\frac{t^3}{3}\right]_{-b}^{b} \\ &=3\left(\frac{2}{3}b^3-\left(-\frac{2}{3}b^3\right)\right) \\ &=4b^3 \end{aligned} $$

を得る。

これが $\dfrac{27}{2}$ に等しいので，

$$ 4b^3=\frac{27}{2} $$

すなわち

$$ b^3=\frac{27}{8} $$

より

$$ b=\frac{3}{2} $$

である。したがって

$$ a+1=b^2=\frac{9}{4} $$

より

$$ a=\frac{5}{4} $$

となる。

解説

この問題の核心は，交点を与える三次式が常に $x=2$ を根にもつことを見抜く点にある。（1） の定点発見が （2） の因数分解に直結している。

また （3） では，二次因子の解が $-1\pm \sqrt{a+1}$ と対称な形になるため，$x+1=t$ とおくと積分区間が $[-b,b]$ になり，奇関数部分が消えて計算が大幅に簡単になる。面積計算を力任せに進めるより，対称性を利用するのが有効である。

答え

**(1)**

$$ P(2,1) $$

**(2)**

$$ a>-1,\quad a\neq 8 $$

**(3)**

$$ a=\frac{5}{4} $$