解説

方針・初手

接線の情報から，まず 2 直線 $OP,\ PA$ の傾きを求める。

直線 $OP$ は点 $O$ における接線，直線 $PA$ は点 $A$ における接線であるから，

$$ f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f'(0)=\text{直線 }OP\text{ の傾き},\quad f'(1)=\text{直線 }PA\text{ の傾き} $$

が成り立つ。

その後，$f(x)=ax^3+bx^2+cx$ とおいて係数を決定し，最後にグラフと 2 直線の差を積分して面積を求める。

解法1

まず，点 $O(0,0)$，$P\left(\frac13,r\right)$ を通る直線 $OP$ の傾きは

$$ \frac{r-0}{\frac13-0}=3r $$

である。したがって，

$$ OP:\ y=3rx $$

となる。

次に，点 $P\left(\frac13,r\right)$，$A(1,1)$ を通る直線 $PA$ の傾きは

$$ \frac{1-r}{1-\frac13} =\frac{1-r}{\frac23} =\frac{3(1-r)}{2} $$

である。よって，

$$ PA:\ y-1=\frac{3(1-r)}{2}(x-1) $$

すなわち

$$ PA:\ y=\frac{3(1-r)}{2}x+\frac{3r-1}{2} $$

である。

したがって （1） の答えは得られた。

---

次に，$OP,\ PA$ はそれぞれ点 $O,\ A$ における接線であるから，

$$ f'(0)=3r,\qquad f'(1)=\frac{3(1-r)}{2} $$

である。これが （2） の答えである。

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さらに，

$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx $$

とおく。

点 $A(1,1)$ がグラフ上にあるので，

$$ f(1)=a+b+c=1 $$

である。

また，

$$ f'(x)=3ax^2+2bx+c $$

より，

$$ f'(0)=c=3r $$

であるから，

$$ c=3r $$

を得る。

さらに，

$$ f'(1)=3a+2b+c=\frac{3(1-r)}{2} $$

であるから，$c=3r$ を代入して

$$ 3a+2b+3r=\frac{3(1-r)}{2} $$

すなわち

$$ 3a+2b=\frac{3(1-3r)}{2} $$

となる。

一方，

$$ a+b=1-3r $$

である。

よって連立すると，

$$ a=\frac{3r-1}{2},\qquad b=\frac{3(1-3r)}{2} $$

となる。したがって，

$$ a=\frac{3r-1}{2},\qquad b=\frac{3(1-3r)}{2},\qquad c=3r $$

であり，これが （3） の答えである。

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最後に面積を求める。

今求めた係数を用いると，

$$ f(x)=\frac{3r-1}{2}x^3+\frac{3(1-3r)}{2}x^2+3rx $$

である。

まず $OP$ とグラフの差をみると，

$$ f(x)-3rx =\frac{3r-1}{2}x^3+\frac{3(1-3r)}{2}x^2 =\frac{3r-1}{2}x^2(x-3) $$

となる。

$r>\frac13$ より $3r-1>0$ であり，$0\le x\le 1$ では $x-3<0$ なので，

$$ f(x)\le 3rx $$

が成り立つ。したがって，区間 $0\le x\le \frac13$ では上側が直線 $OP$，下側がグラフである。

次に $PA$ との差をみる。$PA$ の式は

$$ y=\frac{3(1-r)}{2}x+\frac{3r-1}{2} $$

であったから，

$$ f(x)-\left(\frac{3(1-r)}{2}x+\frac{3r-1}{2}\right) =\frac{3r-1}{2}(x-1)^3 $$

となる。

$r>\frac13$ より $3r-1>0$ であり，$0\le x\le 1$ では $(x-1)^3\le 0$ なので，

$$ f(x)\le \frac{3(1-r)}{2}x+\frac{3r-1}{2} $$

が成り立つ。したがって，区間 $\frac13\le x\le 1$ では上側が直線 $PA$，下側がグラフである。

よって求める面積を $S$ とすると，

$$ S=\int_0^{1/3}(3rx-f(x)),dx+\int_{1/3}^{1}\left(\frac{3(1-r)}{2}x+\frac{3r-1}{2}-f(x)\right),dx $$

である。

上の式変形を使えば，

$$ 3rx-f(x)=\frac{3r-1}{2}x^2(3-x), $$

$$ \frac{3(1-r)}{2}x+\frac{3r-1}{2}-f(x)=\frac{3r-1}{2}(1-x)^3 $$

だから，

$$ S=\frac{3r-1}{2}\int_0^{1/3}x^2(3-x),dx+\frac{3r-1}{2}\int_{1/3}^{1}(1-x)^3,dx $$

となる。

まず，

$$ \int_0^{1/3}x^2(3-x),dx =\left[x^3-\frac{x^4}{4}\right]_0^{1/3} =\frac{1}{27}-\frac{1}{324} =\frac{11}{324} $$

である。

また，

$$ \int_{1/3}^{1}(1-x)^3,dx =\left[-\frac{(1-x)^4}{4}\right]_{1/3}^{1} =\frac{4}{81} $$

である。

したがって，

$$ S=\frac{3r-1}{2}\left(\frac{11}{324}+\frac{4}{81}\right) =\frac{3r-1}{2}\cdot\frac{27}{324} =\frac{3r-1}{24} $$

となる。これが （4） の答えである。

解説

この問題の本質は，接線の傾きが微分係数そのものであることを使う点にある。

特に，

$$ f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f'(0),\quad f'(1) $$

の 4 条件で 3 次式の係数が決まる。

また，面積では単に積分するのではなく，直線と曲線の大小関係を先に確認する必要がある。今回， 差が

$$ f(x)-OP=\frac{3r-1}{2}x^2(x-3),\qquad f(x)-PA=\frac{3r-1}{2}(x-1)^3 $$

ときれいに因数分解できるため，どちらの区間でどの直線が上側にあるかが明確になる。ここを曖昧にすると，面積の符号を誤りやすい。

答え

**(1)**

$$ OP:\ y=3rx $$

$$ PA:\ y-1=\frac{3(1-r)}{2}(x-1) $$

すなわち

$$ PA:\ y=\frac{3(1-r)}{2}x+\frac{3r-1}{2} $$

**(2)**

$$ f'(0)=3r,\qquad f'(1)=\frac{3(1-r)}{2} $$

**(3)**

$$ a=\frac{3r-1}{2},\qquad b=\frac{3(1-3r)}{2},\qquad c=3r $$

**(4)**

$$ \frac{3r-1}{24} $$