解説

方針・初手

まず $f(x)$ を絶対値の中身 $x-3$ の符号で場合分けする。

そのうえで

$$ A(x)=\int_0^x f(t),dt $$

とおくと，

$$ \int_x^6 f(t),dt=\int_0^6 f(t),dt-\int_0^x f(t),dt $$

であるから，$\int_0^6 f(t),dt$ を先に求めれば $g(x)$ を大きく簡単にできる。実際には $\int_0^6 f(t),dt=0$ となるので，$g(x)=2|A(x)|$ に帰着できるのが初手である。

解法1

まず $f(x)=x+2|x-3|-6$ を場合分けする。

**(i)**

$0\leqq x\leqq 3$ のとき

$$ |x-3|=3-x $$

より，

$$ f(x)=x+2(3-x)-6=-x $$

である。

**(ii)**

$3\leqq x\leqq 6$ のとき

$$ |x-3|=x-3 $$

より，

$$ f(x)=x+2(x-3)-6=3x-12 $$

である。

したがって，

$$ f(x)= \begin{cases} -x & (0\leqq x\leqq 3),\\ 3x-12 & (3\leqq x\leqq 6) \end{cases} $$

となる。

次に，全区間での積分を求める。

$$ \int_0^6 f(t),dt =\int_0^3 (-t),dt+\int_3^6 (3t-12),dt $$

であり，

$$ \int_0^3 (-t),dt=-\frac{9}{2}, \qquad \int_3^6 (3t-12),dt=\frac{9}{2} $$

だから，

$$ \int_0^6 f(t),dt=0 $$

である。

そこで

$$ A(x)=\int_0^x f(t),dt $$

とおくと，

$$ \int_x^6 f(t),dt=\int_0^6 f(t),dt-\int_0^x f(t),dt=-A(x) $$

となるので，

$$ g(x)=|A(x)|+|-A(x)|=2|A(x)| $$

である。

以下，$A(x)$ を求める。

**(i)**

$0\leqq x\leqq 3$ のとき

$$ A(x)=\int_0^x (-t),dt=-\frac{x^2}{2} $$

である。したがって

$$ g(x)=2\left|-\frac{x^2}{2}\right|=x^2 $$

となる。

**(ii)**

$3\leqq x\leqq 6$ のとき

$$ A(x)=\int_0^3 (-t),dt+\int_3^x (3t-12),dt $$

より，

$$ A(x)=-\frac{9}{2}+\left[\frac{3}{2}t^2-12t\right]_3^x $$

である。これを整理すると，

$$ A(x)=-\frac{9}{2}+\left(\frac{3}{2}x^2-12x+\frac{45}{2}\right) =\frac{3}{2}x^2-12x+18 $$

となる。よって

$$ g(x)=2\left|\frac{3}{2}x^2-12x+18\right| $$

である。

ここで

$$ \frac{3}{2}x^2-12x+18 =\frac{3}{2}(x-2)(x-6) $$

であり，$3\leqq x\leqq 6$ では $(x-2)\geqq 0,\ (x-6)\leqq 0$ であるから

$$ \frac{3}{2}x^2-12x+18\leqq 0 $$

となる。したがって

$$ g(x)=-2\left(\frac{3}{2}x^2-12x+18\right) =-3x^2+24x-36 $$

である。

以上より，

$$ g(x)= \begin{cases} x^2 & (0\leqq x\leqq 3),\\ -3x^2+24x-36 & (3\leqq x\leqq 6) \end{cases} $$

となる。

これを用いて各問に答える。

**(1)**

$$ g(3)=3^2=9, \qquad g(6)=-3\cdot 6^2+24\cdot 6-36=0 $$

である。

（3） 面積を求める。

上で求めた式から，$0\leqq x\leqq 6$ で $g(x)\geqq 0$ であり，$g(0)=g(6)=0$ である。したがって，求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^6 g(x),dx =\int_0^3 x^2,dx+\int_3^6 (-3x^2+24x-36),dx $$

である。

まず，

$$ \int_0^3 x^2,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=9 $$

である。

次に，

$$ \int_3^6 (-3x^2+24x-36),dx =\left[-x^3+12x^2-36x\right]_3^6 =0-(-27)=27 $$

となる。

よって，

$$ S=9+27=36 $$

である。

解説

この問題の要点は，$g(x)$ をそのまま扱わず，

$$ A(x)=\int_0^x f(t),dt $$

とおいて

$$ \int_x^6 f(t),dt=\int_0^6 f(t),dt-A(x) $$

と見ることである。全区間での積分が $0$ になるため，$g(x)$ は $2|A(x)|$ に簡単化される。

また，$A(x)$ の符号まで確認すると，絶対値を外して具体式にできる。絶対値付きの積分で定義された関数では，このように「全体の積分」と「部分積分」の関係を見るのが典型である。

答え

**(1)**

$$ g(3)=9,\qquad g(6)=0 $$

**(2)**

$$ g(x)= \begin{cases} x^2 & (0\leqq x\leqq 3),\\ -3x^2+24x-36 & (3\leqq x\leqq 6) \end{cases} $$

**(3)**

曲線 $y=g(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積は

$$ 36 $$

である。