解説

方針・初手

接線の式を、接点の $x$ 座標を用いて表すのが自然である。

曲線 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ 上の $x=t$ における接線を求めると、傾きが $t/2$ で表せるので、2本の接線の直交条件と、交点の $x$ 座標の条件をそのまま式にできる。

接点を求めたら、あとは放物線と各接線の差を積分すれば面積が出る。

解法1

曲線

$$ y=\frac{x^2}{4} $$

の導関数は

$$ y'=\frac{x}{2} $$

である。

したがって、$x=t$ における接線は

$$ y=\frac{t}{2}(x-t)+\frac{t^2}{4} =\frac{t}{2}x-\frac{t^2}{4} $$

である。

そこで、$L_1,L_2$ がそれぞれ $x=a,x=b$ における接線であるとすると、

$$ L_1:\ y=\frac{a}{2}x-\frac{a^2}{4}, \qquad L_2:\ y=\frac{b}{2}x-\frac{b^2}{4} $$

となる。

2直線は直交するので、傾きの積は $-1$ である。よって

$$ \frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2}=-1 $$

より

$$ ab=-4 $$

を得る。

次に、$L_1,L_2$ の交点の $x$ 座標を求める。

交点では両式の右辺が等しいから、

$$ \begin{aligned} \frac{a}{2}x-\frac{a^2}{4} &= \frac{b}{2}x-\frac{b^2}{4} \end{aligned} $$

である。整理すると

$$ 2(a-b)x=a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$

となるので、$a\neq b$ より

$$ x=\frac{a+b}{2} $$

である。

交点の $x$ 座標は $\dfrac{3}{2}$ と与えられているから、

$$ \frac{a+b}{2}=\frac{3}{2} $$

より

$$ a+b=3 $$

を得る。

したがって、$a,b$ は

$$ t^2-3t-4=0 $$

の2解であり、

$$ t=4,\ -1 $$

である。

よって2本の接線は

$$ x=4 \text{ における接線 } \ y=2x-4 $$

$$ x=-1 \text{ における接線 } \ y=-\frac12 x-\frac14 $$

である。

実際、この2直線の交点は

$$ 2x-4=-\frac12 x-\frac14 $$

より

$$ x=\frac32 $$

となる。

ここで、放物線と接線の差を計算すると、接線 $y=\dfrac{t}{2}x-\dfrac{t^2}{4}$ に対して

$$ \begin{aligned} \frac{x^2}{4}-\left(\frac{t}{2}x-\frac{t^2}{4}\right) &= \frac{(x-t)^2}{4} \end{aligned} $$

となる。

したがって、求める面積を $S$ とすると、

$$ S= \int_{-1}^{3/2}\left\{\frac{x^2}{4}-\left(-\frac12 x-\frac14\right)\right\}dx + \int_{3/2}^{4}\left\{\frac{x^2}{4}-(2x-4)\right\}dx $$

である。上の関係を用いれば

$$ S= \int_{-1}^{3/2}\frac{(x+1)^2}{4},dx + \int_{3/2}^{4}\frac{(x-4)^2}{4},dx $$

となる。

それぞれ計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{3/2}\frac{(x+1)^2}{4},dx &= \frac14\left[\frac{(x+1)^3}{3}\right]_{-1}^{3/2} \\ \frac14\cdot \frac{(5/2)^3}{3} \\ \frac{125}{96} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{3/2}^{4}\frac{(x-4)^2}{4},dx &= \frac14\left[\frac{(x-4)^3}{3}\right]_{3/2}^{4} \\ \frac{125}{96} \end{aligned} $$

であるから、

$$ S=\frac{125}{96}+\frac{125}{96} =\frac{125}{48} $$

となる。

解説

放物線 $y=\dfrac{x^2}{4}$ の接線を、接点の $x$ 座標 $t$ を用いて

$$ y=\frac{t}{2}x-\frac{t^2}{4} $$

と置くのが基本である。

この形にしておくと、直交条件は傾きの積から $ab=-4$、交点の $x$ 座標は連立して $x=\dfrac{a+b}{2}$ とすぐに出る。さらに、放物線と接線の差が

$$ \frac{(x-t)^2}{4} $$

ときれいな平方になるため、面積計算も簡潔になる。

接線の式を毎回個別に作るより、接点を文字で置いてから一気に処理するのがこの問題の要点である。

答え

求める面積は

$$ \frac{125}{48} $$

である。