解説

方針・初手

円と放物線の共有点は、放物線の式 $y=ax^2+b$ を円の式 $x^2+y^2=1$ に代入して調べるのが基本である。

特に （2） では $t=x^2\ (\ge 0)$ とおくと 2次方程式に帰着でき、共有点の存在条件を根の条件として整理できる。

解法1

**(1)**

$a=2,\ b=-1$ のとき、放物線は

$$ y=2x^2-1 $$

である。これを円

$$ x^2+y^2=1 $$

に代入すると、

$$ x^2+(2x^2-1)^2=1 $$

すなわち

$$ x^2+4x^4-4x^2+1=1 $$

より

$$ 4x^4-3x^2=0 $$

となる。したがって

$$ x^2(4x^2-3)=0 $$

より、共有点の $x$ 座標は

$$ x=0,\ \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。対応する $y$ 座標は

$$ x=0 \Rightarrow y=-1,\qquad x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow y=\frac12 $$

である。

原点 $(0,0)$ は放物線の上側にあるので、求める部分は $x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ から $x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ までの間で、上側の円

$$ y=\sqrt{1-x^2} $$

と放物線

$$ y=2x^2-1 $$

にはさまれた部分である。よって面積 $S$ は

$$ S=\int_{-\sqrt3/2}^{\sqrt3/2}\left\{\sqrt{1-x^2}-(2x^2-1)\right\},dx $$

となる。被積分関数は偶関数なので、

$$ S=2\int_0^{\sqrt3/2}\left\{\sqrt{1-x^2}-2x^2+1\right\},dx $$

である。

ここで

$$ \int \sqrt{1-x^2},dx=\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac12\sin^{-1}x $$

を用いると、

$$ \int_0^{\sqrt3/2}\sqrt{1-x^2},dx =\left[\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac12\sin^{-1}x\right]_0^{\sqrt3/2} =\frac{\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{6} $$

また、

$$ \int_0^{\sqrt3/2}(-2x^2+1),dx =\left[-\frac{2}{3}x^3+x\right]_0^{\sqrt3/2} =\frac{\sqrt3}{4} $$

であるから、

$$ S=2\left(\frac{\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{4}\right) =2\left(\frac{3\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{6}\right) =\frac{3\sqrt3}{4}+\frac{\pi}{3} $$

となる。

**(2)**

共有点の $x$ 座標を $x$ とすると、

$$ x^2+(ax^2+b)^2=1 $$

が成り立つ。ここで

$$ t=x^2\qquad (t\ge 0) $$

とおくと、

$$ t+(at+b)^2=1 $$

すなわち

$$ a^2t^2+(2ab+1)t+(b^2-1)=0 $$

となる。

したがって、$C_1,\ C_2$ が共有点をもつための条件は、この 2次方程式が $t\ge 0$ の解をもつことである。

いま $a>0,\ b<-1$ なので

$$ b^2-1>0 $$

であり、2次方程式の解を $t_1,t_2$ とすると

$$ t_1t_2=\frac{b^2-1}{a^2}>0 $$

である。よって実数解をもつとき、2つの解は同符号である。したがって $t\ge 0$ の解をもつためには、2解がともに正であることが必要十分である。

よって条件は

$$ t_1+t_2=-\frac{2ab+1}{a^2}>0 $$

および判別式

$$ \Delta=(2ab+1)^2-4a^2(b^2-1)\ge 0 $$

である。

これを整理すると、

$$ 2ab+1<0 $$

および

$$ (2ab+1)^2-4a^2(b^2-1)=4a(a+b)+1\ge 0 $$

となる。すなわち

$$ b<-\frac{1}{2a},\qquad b\ge -a-\frac{1}{4a} $$

である。

ここで $0<a\le \dfrac12$ だと

$$ -a-\frac{1}{4a}\ge -\frac{1}{2a} $$

となり、上の2条件を同時に満たす $b$ は存在しない。したがって共有点をもつには

$$ a>\frac12 $$

が必要である。

逆に $a>\dfrac12$ のときは

$$ -\frac{1}{2a}>-1 $$

だから、仮定 $b<-1$ により $b<-\dfrac{1}{2a}$ は自動的に満たされる。したがって必要十分条件は

$$ a>\frac12,\qquad -a-\frac{1}{4a}\le b<-1 $$

である。

解説

（1） は交点を求めたあと、どの曲線が上側にあるかを確認して面積を積分で出すだけである。原点を含む部分は、下側の小領域ではなく、上側の大きい領域であることを図形的に見誤らないことが重要である。

（2） の本質は、$x$ ではなく $t=x^2$ とおいて 2次方程式に直すことである。円と放物線の共有点条件が、「$t\ge 0$ の解をもつ条件」に置き換わるため、判別式と解の符号で処理できる。

答え

**(1)**

原点を含む部分の面積は

$$ \frac{\pi}{3}+\frac{3\sqrt3}{4} $$

である。

**(2)**

$C_1$ と $C_2$ が共有点をもつための条件は

$$ a>\frac12,\qquad -a-\frac{1}{4a}\le b<-1 $$

である。