解説

方針・初手

放物線 $y=x^2$ 上の2点 $(u,u^2)$, $(v,v^2)$ を結ぶ直線の傾きは

$$ \frac{v^2-u^2}{v-u}=u+v $$

である。したがって，直線 $BC$ の傾きから点 $D$ の $x$ 座標がすぐに決まる。

さらに，$M$ は $BC$ の中点なので，$M$ の $x$ 座標を調べると $D$ と一致する。よって $MD$ は鉛直線となり，$P$ も求めやすい。

面積比は，放物線 $y=x^2$ 上の3点 $(u,u^2),(v,v^2),(w,w^2)$ がつくる三角形の面積公式を用いると簡潔に処理できる。

解法1

$b=\dfrac{a+c}{2}$ である。

まず，直線 $BC$ の傾きは

$$ \frac{c^2-b^2}{c-b}=b+c $$

であるから，

$$ \text{直線 }BC\text{ の傾き}=b+c=\frac{a+c}{2}+c=\frac{a+3c}{2} $$

となる。

一方，放物線 $y=x^2$ 上の点 $(t,t^2)$ における接線の傾きは $2t$ である。これが直線 $BC$ の傾きに等しいので，

$$ 2t=\frac{a+3c}{2} $$

より

$$ t=\frac{a+3c}{4} $$

である。したがって

$$ D\left(\frac{a+3c}{4},\left(\frac{a+3c}{4}\right)^2\right) $$

となる。

（1） $PM:MD$ を求める

$M$ は $BC$ の中点なので，その $x$ 座標は

$$ \begin{aligned} \frac{b+c}{2} &= \frac{\frac{a+c}{2}+c}{2} \\ \frac{a+3c}{4} \end{aligned} $$

である。これは $D$ の $x$ 座標と一致する。よって，直線 $MD$ は

$$ x=\frac{a+3c}{4} $$

という鉛直線である。

次に，$A(a,a^2)$，$C(c,c^2)$ を通る直線 $AC$ の傾きは

$$ \frac{c^2-a^2}{c-a}=a+c $$

であるから，直線 $AC$ の方程式は

$$ y-a^2=(a+c)(x-a) $$

すなわち

$$ y=(a+c)x-ac $$

である。

したがって，$P$ は $x=\dfrac{a+3c}{4}$ と直線 $AC$ との交点なので，

$$ P\left(\frac{a+3c}{4},\ (a+c)\frac{a+3c}{4}-ac\right) $$

である。$y$ 座標を整理すると，

$$ \begin{aligned} (a+c)\frac{a+3c}{4}-ac &= \frac{a^2+4ac+3c^2}{4}-ac \\ \frac{a^2+3c^2}{4} \end{aligned} $$

より

$$ P\left(\frac{a+3c}{4},\ \frac{a^2+3c^2}{4}\right) $$

となる。

また，$M$ の $y$ 座標は

$$ \begin{aligned} \frac{b^2+c^2}{2} &= \frac{\left(\frac{a+c}{2}\right)^2+c^2}{2} \\ \frac{a^2+2ac+5c^2}{8} \end{aligned} $$

であり，$D$ の $y$ 座標は

$$ \left(\frac{a+3c}{4}\right)^2=\frac{a^2+6ac+9c^2}{16} $$

である。

よって，$MD$ は鉛直線分なので，

$$ \begin{aligned} PM &= \frac{a^2+3c^2}{4}-\frac{a^2+2ac+5c^2}{8} \\ \frac{(c-a)^2}{8} \end{aligned} $$

および

$$ \begin{aligned} MD &= \frac{a^2+2ac+5c^2}{8}-\frac{a^2+6ac+9c^2}{16} \\ \frac{(c-a)^2}{16} \end{aligned} $$

となる。

したがって，

$$ PM:MD=\frac{(c-a)^2}{8}:\frac{(c-a)^2}{16}=2:1 $$

である。

（2） $\triangle ABC:\triangle BCD$ を求める

放物線 $y=x^2$ 上の3点 $(u,u^2)$，$(v,v^2)$，$(w,w^2)$ がつくる三角形の面積を $S$ とすると，

$$ \begin{aligned} 2S &= \left| \begin{vmatrix} 1 & u & u^2\\ 1 & v & v^2\\ 1 & w & w^2 \end{vmatrix} \right| \\ &= |(v-u)(w-u)(w-v)| \end{aligned} $$

である。したがって，

$$ S=\frac12 |(v-u)(w-u)(w-v)| $$

となる。

まず，$\triangle ABC$ について，$a<b<c$ であり

$$ b-a=\frac{c-a}{2},\qquad c-b=\frac{c-a}{2} $$

なので，

$$ \begin{aligned} [\triangle ABC] &= \frac12 (b-a)(c-a)(c-b) \\ \frac12 \cdot \frac{c-a}{2}\cdot (c-a)\cdot \frac{c-a}{2} \\ \frac{(c-a)^3}{8} \end{aligned} $$

である。

次に，$D$ の $x$ 座標を

$$ d=\frac{a+3c}{4} $$

とおくと，

$$ d-b=\frac{a+3c}{4}-\frac{a+c}{2}=\frac{c-a}{4},\qquad c-d=c-\frac{a+3c}{4}=\frac{c-a}{4} $$

である。よって $b<d<c$ だから，

$$ \begin{aligned} [\triangle BCD] &= \frac12 (d-b)(c-b)(c-d) \\ \frac12 \cdot \frac{c-a}{4}\cdot \frac{c-a}{2}\cdot \frac{c-a}{4} \\ \frac{(c-a)^3}{64} \end{aligned} $$

となる。

したがって，

$$ \begin{aligned} \triangle ABC:\triangle BCD &= \frac{(c-a)^3}{8}:\frac{(c-a)^3}{64} \\ 8:1 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は，放物線 $y=x^2$ では弦の傾きが「両端の $x$ 座標の和」になることである。これにより，接線の傾き条件から点 $D$ の $x$ 座標が直ちに求まる。

さらに，$M$ は $BC$ の中点なので，その $x$ 座標がちょうど $D$ と一致する。ここに気づけば $MD$ が鉛直線になり，$P$ は直線 $AC$ に代入するだけで求まる。

また，放物線上の3点がつくる三角形の面積は，$x$ 座標の差の積で表せる。これを知っていると （2） はほとんど計算だけで処理できる。

答え

**(1)**

$$ PM:MD=2:1 $$

**(2)**

$$ \triangle ABC:\triangle BCD=8:1 $$