解説

方針・初手

曲線とその接線の間の面積を求めるには，まず「曲線 $-$ 接線」を式で表すのが基本である。

この差は，接点 $x=a$ で値も傾きも一致するので $(x-a)^2$ を因数にもつ。したがって，差を因数分解してもう1つの交点を求めれば，面積は積分で処理できる。

解法1

曲線を

$$ f(x)=x^2(x-1)=x^3-x^2 $$

とおく。

このとき

$$ f'(x)=3x^2-2x $$

であるから，点 $(a,f(a))=(a,a^2(a-1))$ における接線は

$$ y=f'(a)(x-a)+f(a) $$

すなわち

$$ y=(3a^2-2a)(x-a)+a^2(a-1) $$

である。整理すると

$$ y=(3a^2-2a)x-2a^3+a^2 $$

となる。

ここで，曲線と接線の差をとると

$$ \begin{aligned} f(x)-y &=x^3-x^2-\bigl((3a^2-2a)x-2a^3+a^2\bigr) \\ &=x^3-x^2-(3a^2-2a)x+2a^3-a^2. \end{aligned} $$

接点 $x=a$ では重解になるので，これを因数分解すると

$$ f(x)-y=(x-a)^2(x+2a-1) $$

となる。

よって，接線は $x=a$ 以外に

$$ x+2a-1=0 $$

すなわち

$$ x=1-2a $$

でも曲線と交わる。

したがって，囲まれた図形の面積 $S$ は

$$ S=\left|\int_a^{,1-2a}(f(x)-y),dx\right| =\left|\int_a^{,1-2a}(x-a)^2(x+2a-1),dx\right| $$

である。

ここで

$$ t=x-a $$

とおくと，

$$ x+2a-1=t-(1-3a) $$

であり，上端 $x=1-2a$ のとき

$$ t=(1-2a)-a=1-3a $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} S &=\left|\int_0^{,1-3a} t^2\bigl(t-(1-3a)\bigr),dt\right| \\ &=\left|\int_0^{,1-3a}\left(t^3-(1-3a)t^2\right),dt\right|. \end{aligned} $$

積分すると

$$ \begin{aligned} S &=\left|\left[\frac{t^4}{4}-\frac{1-3a}{3}t^3\right]_0^{,1-3a}\right| \\ &=\left|\frac{(1-3a)^4}{4}-\frac{(1-3a)^4}{3}\right| \\ &=\frac{|1-3a|^4}{12}. \end{aligned} $$

これが $\dfrac{1}{12}$ に等しいから，

$$ \frac{|1-3a|^4}{12}=\frac{1}{12} $$

より

$$ |1-3a|^4=1 $$

すなわち

$$ |1-3a|=1. $$

したがって

$$ 1-3a=\pm 1 $$

より，

$$ a=0,\ \frac{2}{3}. $$

解説

この問題の要点は，曲線と接線の差が接点で2重根をもつことにある。そのため

$$ f(x)-(\text{接線})=(x-a)^2(\text{1次式}) $$

と因数分解でき，もう1つの交点がすぐに分かる。

また，囲まれた面積は絶対値つきの積分で処理するのが安全である。途中で符号を細かく場合分けしなくても，最後に絶対値をつければ確実に面積を求められる。

答え

$$ a=0,\ \frac{2}{3} $$