解説

方針・初手

接点 $P(a,b)$ における円 $x^2+y^2=10$ の接線は $ax+by=10$ である。これが $A(2,4)$ を通る条件と、$P$ が円周上にある条件 $a^2+b^2=10$ を連立すれば、接点 $S,T$ が求まる。

（2） では、$S,T$ は直線 $ST$ 上にあるから、二次関数 $f(x)$ と直線 $ST$ の差は $x=-1,3$ を根にもつ。したがって $f(x)-(\text{直線 }ST)$ を $(x+1)(x-3)$ の形における。

（3） では、求める面積を

「放物線 $C$ と弦 $ST$ の間の面積」$-$「円弧 $ST$ と弦 $ST$ の間の面積」

と分けると処理しやすい。

解法1

（1） 2点 $S,T$ の座標を求める。

円周上の点 $P(a,b)$ における接線は

$$ ax+by=10 $$

である。

この接線が $A(2,4)$ を通るので、

$$ 2a+4b=10 $$

すなわち

$$ a+2b=5 $$

を満たす。

また $P(a,b)$ は円 $x^2+y^2=10$ 上の点であるから、

$$ a^2+b^2=10 $$

でもある。よって

$$ a=5-2b $$

を代入して

$$ (5-2b)^2+b^2=10 $$

$$ 5b^2-20b+15=0 $$

$$ b^2-4b+3=0 $$

$$ (b-1)(b-3)=0 $$

より、

$$ b=1,\ 3 $$

である。これに対して

$$ a=5-2b $$

より、

$$ (a,b)=(3,1),\ (-1,3) $$

を得る。$x_1<x_2$ より

$$ S(-1,3),\quad T(3,1) $$

である。

次に、$S,T$ を通る直線は、上の条件 $a+2b=5$ から

$$ x+2y=5 $$

すなわち

$$ y=-\frac12 x+\frac52 $$

である。

**(2)**

$C$ が3点 $A,S,T$ を通るとき、$f(x)$ を求める。

$C$ は $S(-1,3),T(3,1)$ を通るから、直線 $ST$ との差は $x=-1,3$ で $0$ になる。したがって、ある定数 $k$ を用いて

$$ f(x)-\left(-\frac12 x+\frac52\right)=k(x+1)(x-3) $$

とおける。

よって

$$ f(x)=-\frac12 x+\frac52+k(x+1)(x-3) $$

である。

さらに $A(2,4)$ を通るので、

$$ 4=-\frac12\cdot 2+\frac52+k(2+1)(2-3) $$

$$ 4=\frac32-3k $$

$$ k=-\frac56 $$

したがって

$$ f(x)=-\frac12 x+\frac52-\frac56(x+1)(x-3) $$

これを展開すると

$$ f(x)=-\frac56 x^2+\frac76 x+5 $$

である。

（3） 2点 $S,T$ を通る直線より上側で、$C$ と円で囲まれる部分の面積を求める。

求める面積を $M$ とする。

まず、放物線 $C$ と直線 $ST$ の間の面積を求める。上で得た式より

$$ f(x)-\left(-\frac12 x+\frac52\right) =-\frac56(x+1)(x-3) =\frac56(3-x)(x+1) $$

であるから、

$$ \text{放物線と直線 }ST\text{ の間の面積} =\int_{-1}^{3}\frac56(3-x)(x+1),dx $$

$$ =\frac56\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3),dx =\frac56\left[ -\frac{x^3}{3}+x^2+3x \right]_{-1}^{3} =\frac{80}{9} $$

次に、円弧 $ST$ と弦 $ST$ の間の面積を求める。

$\overrightarrow{OS}=(-1,3)$, $\overrightarrow{OT}=(3,1)$ とすると、

$$ \overrightarrow{OS}\cdot \overrightarrow{OT} =(-1)\cdot 3+3\cdot 1=0 $$

より、

$$ \angle SOT=\frac{\pi}{2} $$

である。半径は $\sqrt{10}$ だから、扇形 $SOT$ の面積は

$$ \frac12\cdot 10\cdot \frac{\pi}{2} =\frac{5\pi}{2} $$

また、三角形 $SOT$ は直角三角形であり、その面積は

$$ \frac12\cdot \sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=5 $$

である。したがって、円弧 $ST$ と弦 $ST$ の間の面積は

$$ \frac{5\pi}{2}-5 $$

となる。

よって求める面積 $M$ は

$$ M=\frac{80}{9}-\left(\frac{5\pi}{2}-5\right) =\frac{125}{9}-\frac{5\pi}{2} $$

である。

解説

接点を求めるときは、円 $x^2+y^2=r^2$ の接線が $ax+by=r^2$ で表されることを使うのが基本である。この問題では、その接線が点 $A$ を通る条件を加えるだけで、接点の座標がすぐに決まる。

（2） では、$S,T$ が同じ直線 $ST$ 上にあることに注目するのが重要である。二次関数そのものを $ax^2+bx+c$ とおいて3本の式を立ててもよいが、直線との差を $(x+1)(x-3)$ とおくと見通しがよい。

（3） は、円と放物線の差を直接積分するよりも、弦 $ST$ を基準にして面積を引き算する方が簡潔である。円弧と弦の間は、扇形から三角形を引けばよい典型形である。

答え

**(1)**

$$ S(-1,3),\quad T(3,1) $$

**(2)**

$$ f(x)=-\frac56 x^2+\frac76 x+5 $$

**(3)**

$$ \frac{125}{9}-\frac{5\pi}{2} $$