解説

方針・初手

まず式を因数分解して、$x$ 軸・$y$ 軸との共有点を求める。概形は導関数の符号を調べれば確定できる。

次に、共通接線を $y=mx+n$ とおく。曲線と直線の差は、接点 $P,Q$ の $x$ 座標をそれぞれ2重根にもつ四次式になるので、その形を係数比較すれば直線 $PQ$ が求まる。

面積は、その差が平方の形になることを用いて積分する。

解法1

**(1)**

与えられた曲線を

$$ y=x^4-9x^3+27x^2-31x+12 $$

とする。これを因数分解すると

$$ y=(x-1)^2(x-3)(x-4) $$

である。

したがって、$x$ 軸との共有点は

$$ (1,0),\ (3,0),\ (4,0) $$

である。また、$x=0$ のとき

$$ y=12 $$

であるから、$y$ 軸との共有点は

$$ (0,12) $$

である。

さらに概形を見るために導関数を求めると、

$$ y'=4x^3-27x^2+54x-31=(x-1)(4x^2-23x+31) $$

となる。ここで

$$ 4x^2-23x+31=0 \iff x=\frac{23\pm\sqrt{33}}{8} $$

であるから、$y'$ の符号は

$x<1$ で負、$1<x<\dfrac{23-\sqrt{33}}{8}$ で正、$\dfrac{23-\sqrt{33}}{8}<x<\dfrac{23+\sqrt{33}}{8}$ で負、$x>\dfrac{23+\sqrt{33}}{8}$ で正

となる。

よって曲線 $C$ は、左上から下がって $(1,0)$ で $x$ 軸に接し、その後上昇し、$x=3$ で $x$ 軸を横切り、さらにいったん下がってから $x=4$ で再び $x$ 軸を横切って右上へ向かう形である。

**(2)**

直線 $PQ$ を

$$ y=mx+n $$

とおく。曲線 $C$ がこの直線に異なる2点 $P,Q$ で接するので、差

$$ f(x)-(mx+n) $$

は $P,Q$ の $x$ 座標をそれぞれ2重根にもつ。したがって、ある実数 $p,q$ を用いて

$$ f(x)-(mx+n)=(x-p)^2(x-q)^2 $$

と書ける。

左辺を展開すると

$$ f(x)-(mx+n)=x^4-9x^3+27x^2-(31+m)x+(12-n) $$

であり、右辺は

$$ \begin{aligned} (x-p)^2(x-q)^2 &= x^4-2(p+q)x^3+{(p+q)^2+2pq}x^2-2pq(p+q)x+(pq)^2 \end{aligned} $$

である。

係数比較により

$$ 2(p+q)=9 $$

より

$$ p+q=\frac{9}{2} $$

また

$$ (p+q)^2+2pq=27 $$

より

$$ \left(\frac{9}{2}\right)^2+2pq=27 \iff pq=\frac{27}{8} $$

となる。

さらに $x$ の係数、定数項を比べると

$$ 31+m=2pq(p+q)=2\cdot \frac{27}{8}\cdot \frac{9}{2}=\frac{243}{8} $$

より

$$ m=-\frac{5}{8} $$

また

$$ 12-n=(pq)^2=\left(\frac{27}{8}\right)^2=\frac{729}{64} $$

より

$$ n=\frac{39}{64} $$

となる。

したがって、直線 $PQ$ の方程式は

$$ y=-\frac{5}{8}x+\frac{39}{64} $$

である。

なお、接点の $x$ 座標は

$$ x^2-\frac{9}{2}x+\frac{27}{8}=0 $$

の解であるから、

$$ x=\frac{9\pm 3\sqrt{3}}{4} $$

である。

**(3)**

（2） より

$$ \begin{aligned} f(x)-\left(-\frac{5}{8}x+\frac{39}{64}\right) &= \left(x^2-\frac{9}{2}x+\frac{27}{8}\right)^2 \end{aligned} $$

である。接点の $x$ 座標を

$$ p=\frac{9-3\sqrt{3}}{4},\qquad q=\frac{9+3\sqrt{3}}{4} $$

とすると、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_p^q \left(x^2-\frac{9}{2}x+\frac{27}{8}\right)^2 dx $$

である。

ここで

$$ x=\frac{9}{4}+t $$

とおくと、

$$ x^2-\frac{9}{2}x+\frac{27}{8}=t^2-\frac{27}{16} $$

となり、積分区間は

$$ t=-\frac{3\sqrt{3}}{4}\ \text{から}\ \frac{3\sqrt{3}}{4} $$

に移る。よって

$$ S=\int_{-\frac{3\sqrt{3}}{4}}^{\frac{3\sqrt{3}}{4}} \left(t^2-\frac{27}{16}\right)^2 dt $$

これは偶関数の積分であるから

$$ S= 2\int_0^{\frac{3\sqrt{3}}{4}} \left(\frac{27}{16}-t^2\right)^2 dt $$

となる。展開して積分すると

$$ \begin{aligned} S &= 2\int_0^{\frac{3\sqrt{3}}{4}} \left( \frac{729}{256}-\frac{27}{8}t^2+t^4 \right)dt \\ &= 2\left[ \frac{729}{256}t-\frac{9}{8}t^3+\frac{1}{5}t^5 \right]_0^{\frac{3\sqrt{3}}{4}} \\ &= \frac{729\sqrt{3}}{320} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、1本の直線が異なる2点で接するという条件を、

$$ f(x)-\text{(直線)}=(x-p)^2(x-q)^2 $$

という「2つの異なる2重根をもつ四次式」に言い換えることである。これにより、接線の条件を微分で直接追うよりも、係数比較だけで直線 $PQ$ を決定できる。

また、（1） では因数分解により $x=1$ が2重根であることが分かるので、$(1,0)$ では $x$ 軸に接することがすぐ読み取れる。概形はこの情報と導関数の符号で確定する。

（3） では、曲線と直線の差が平方になっているため、面積計算が整った形で進む。ここまでの流れが一貫している問題である。

答え

**(1)**

$x$ 軸との共有点は

$$ (1,0),\ (3,0),\ (4,0) $$

であり、$y$ 軸との共有点は

$$ (0,12) $$

である。概形は、左上から下がって $(1,0)$ で $x$ 軸に接し、$(3,0)$ と $(4,0)$ で $x$ 軸を横切って右上に向かう形である。

**(2)**

直線 $PQ$ は

$$ y=-\frac{5}{8}x+\frac{39}{64} $$

である。

**(3)**

曲線 $C$ と直線 $PQ$ で囲まれた部分の面積は

$$ \frac{729\sqrt{3}}{320} $$

である。