解説

方針・初手

2曲線の交点は

$$ (x-a)^2-a=-x^2 $$

を解けばよい。これを整理すると二次方程式になるので、（1） は判別式で処理できる。

また、（3） では交点の $x$ 座標を $\alpha,\beta$ とおくと、2曲線の差が $(x-\alpha)(x-\beta)$ を用いて表せる。したがって （2） の等式をそのまま面積計算に利用できる。

解法1

**(1)**

$C_1,\ C_2$ の交点の $x$ 座標は

$$ (x-a)^2-a=-x^2 $$

より

$$ x^2-2ax+a^2-a=-x^2 $$

すなわち

$$ 2x^2-2ax+a^2-a=0 $$

の解である。

この二次方程式が異なる2つの実数解をもつための条件は、判別式が正であることである。

$$ D=(-2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-a) =4a^2-8a^2+8a =4a(2-a) $$

したがって

$$ D>0 \iff a(2-a)>0 \iff 0<a<2 $$

である。

ゆえに、求める範囲は

$$ 0<a<2 $$

である。

**(2)**

置換

$$ x=\alpha+(\beta-\alpha)t \qquad (0\le t\le 1) $$

を行うと、

$$ dx=(\beta-\alpha),dt $$

であり、

$$ x-\alpha=(\beta-\alpha)t,\qquad x-\beta=(\beta-\alpha)(t-1) $$

となる。よって

$$ \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta),dx =(\beta-\alpha)^3\int_0^1 t(t-1),dt $$

である。

ここで

$$ \int_0^1 t(t-1),dt =\int_0^1 (t^2-t),dt =\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}\right]_0^1 =\frac13-\frac12 =-\frac16 $$

だから、

$$ \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta),dx =-\frac16(\beta-\alpha)^3 $$

が成り立つ。

**(3)**

（1） より $0<a<2$ のとき、$C_1,\ C_2$ は異なる2交点をもつ。その $x$ 座標を $\alpha<\beta$ とする。

交点の条件から

$$ 2x^2-2ax+a^2-a=0 $$

の解が $\alpha,\beta$ であるから、

$$ 2x^2-2ax+a^2-a=2(x-\alpha)(x-\beta) $$

と表せる。

したがって2曲線の差は

$$ (-x^2)-{(x-a)^2-a} =-2x^2+2ax-a^2+a =-2(x-\alpha)(x-\beta) $$

である。$\alpha<x<\beta$ では $(x-\alpha)(x-\beta)<0$ であるから、$C_2$ が $C_1$ より上にある。よって面積 $S(a)$ は

$$ S(a)=\int_\alpha^\beta \left[(-x^2)-{(x-a)^2-a}\right]dx =-2\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta),dx $$

となる。

ここで （2） を用いると、

$$ S(a) =-2\left(-\frac16(\beta-\alpha)^3\right) =\frac13(\beta-\alpha)^3 $$

である。

次に、$\alpha,\beta$ は

$$ 2x^2-2ax+a^2-a=0 $$

の解であるから、

$$ x=\frac{2a\pm \sqrt{4a(2-a)}}{4} =\frac{a\pm \sqrt{a(2-a)}}{2} $$

となる。よって

$$ \beta-\alpha=\sqrt{a(2-a)} $$

であり、

$$ S(a)=\frac13{a(2-a)}^{3/2} $$

を得る。

そこで $a(2-a)$ の最大値を求めると、

$$ a(2-a)=2a-a^2=1-(a-1)^2\le 1 $$

であり、等号は $a=1$ のとき成り立つ。したがって

$$ S(a)\le \frac13 $$

であり、最大値は $a=1$ のとき

$$ S(1)=\frac13 $$

である。

解説

この問題の中心は、2曲線の交点を与える二次方程式

$$ 2x^2-2ax+a^2-a=0 $$

をどう使うかである。

（1） では判別式を見るだけでよい。

（3） では、この二次式の根を $\alpha,\beta$ とおくことで、2曲線の差が

$$ -2(x-\alpha)(x-\beta) $$

と因数分解できる。これにより、面積が （2） の積分公式に直結する。面積を直接積分してもよいが、（2） を使うと計算がかなり整理される。

答え

**(1)**

$$ 0<a<2 $$

**(2)**

$$ \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta),dx =-\frac16(\beta-\alpha)^3 $$

**(3)**

$$ S(a)=\frac13{a(2-a)}^{3/2} $$

したがって、$S(a)$ が最大になるのは

$$ a=1 $$

のときであり、その最大値は

$$ S(1)=\frac13 $$

である。