解説

方針・初手

放物線 $C_1:y=x^2+m^2$ 上の点 $P$ を $P=(t,t^2+m^2)$ とおくと，$C_1$ の接線は簡単に求まる。まずその接線と $C_2:y=x^2$ との交点 $A,B$ を具体的に出す。

次に，$Q=(q,q^2)$ とおいて，放物線 $y=x^2$ とその上の2点を結ぶ弦で囲まれる面積を計算する。これにより $S$ を $q$ の式で表せば，最小値がただちに求まる。

解法1

$P=(t,t^2+m^2)$ とおく。

$C_1:y=x^2+m^2$ の接線の傾きは $2t$ であるから，点 $P$ における接線は

$$ y=2t(x-t)+t^2+m^2=2tx-t^2+m^2 $$

である。

これと $C_2:y=x^2$ との交点の $x$ 座標は

$$ x^2=2tx-t^2+m^2 $$

すなわち

$$ (x-t)^2=m^2 $$

より

$$ x=t-m,\ t+m $$

である。したがって

$$ A=(t-m,(t-m)^2),\quad B=(t+m,(t+m)^2) $$

となる。

ここで $Q$ を $C_2$ 上の $A$ と $B$ の間の点とし，

$$ Q=(q,q^2)\qquad (t-m\le q\le t+m) $$

とおく。

1. 放物線と弦で囲まれる面積

一般に，放物線 $y=x^2$ 上の2点 $(u,u^2),(v,v^2)$ を結ぶ直線の方程式は

$$ y=(u+v)x-uv $$

である。

したがって，その直線と放物線で囲まれる面積は

$$ \int_u^v {(u+v)x-uv-x^2},dx $$

であるが，被積分関数は

$$ (u+v)x-uv-x^2=(x-u)(v-x) $$

と変形できるので，

$$ \int_u^v (x-u)(v-x),dx $$

となる。ここで $x=u+s$ とおくと $0\le s\le v-u$ であり，

$$ \int_0^{v-u} s{(v-u)-s},ds =\frac{(v-u)^3}{6} $$

を得る。

よって，放物線 $y=x^2$ と弦で囲まれる面積は，両端の $x$ 座標の差を $d$ とすると

$$ \frac{d^3}{6} $$

で与えられる。

2. $S$ の式

したがって，

• 直線 $AQ$ と $C_2$ で囲まれる面積は $\displaystyle \frac{(q-(t-m))^3}{6}$
• 直線 $QB$ と $C_2$ で囲まれる面積は $\displaystyle \frac{((t+m)-q)^3}{6}$

であるから，

$$ S=\frac{(q-t+m)^3+(t+m-q)^3}{6} $$

となる。

ここで

$$ a=q-t $$

とおくと $-m\le a\le m$ であり，

$$ S=\frac{(m+a)^3+(m-a)^3}{6} $$

である。展開すると

$$ (m+a)^3+(m-a)^3=2m^3+6ma^2 $$

であるから，

$$ S=\frac{2m^3+6ma^2}{6} =\frac{m^3}{3}+ma^2 $$

を得る。

$m>0$ であるから，$S$ は $a=0$ のとき最小となる。すなわち

$$ q=t $$

のとき最小であり，その最小値は

$$ S_{\min}=\frac{m^3}{3} $$

である。

これは $t$ を含まないので，$P$ のとり方によらない。

解説

この問題の核心は，接線と $C_2$ の交点 $A,B$ の $x$ 座標が $t-m,\ t+m$ となり，間隔が常に $2m$ に固定される点にある。

また，放物線 $y=x^2$ と弦で囲まれる面積が「両端の $x$ 座標の差の3乗」に比例することを使うと，$S$ は左右の長さの3乗和になる。そこで $Q$ を $x=t+a$ とおけば，

$$ S=\frac{m^3}{3}+ma^2 $$

となり，最小値が $a=0$，すなわち $Q$ が $A,B$ のちょうど中間にあるときに達成されることが明確になる。

答え

$P=(t,t^2+m^2)$ とすると，接線と $C_2$ の交点は

$$ A=(t-m,(t-m)^2),\quad B=(t+m,(t+m)^2) $$

である。

$Q=(q,q^2)$ とおくと

$$ S=\frac{(q-t+m)^3+(t+m-q)^3}{6} =\frac{m^3}{3}+m(q-t)^2 $$

となるから，

$$ S_{\min}=\frac{m^3}{3} $$

である。

したがって，$Q$ が $C_2$ 上の $A,B$ の間を動くときの $S$ の最小値は $P$ のとり方によらず，一定であり，

$$ \boxed{\frac{m^3}{3}} $$

である。