解説

方針・初手

円 $C$ と放物線 $S$ の共有点は，放物線の式 $y=\dfrac{1}{k}x^2$ を円の方程式に代入すれば求まる。

このとき $x^2$ だけの式になり，共有点の個数は $x^2$ の値の個数から判定できる。 また，（2） では共有点 $P$ の座標を $k$ で表し，その点での接線を求めて，放物線と接線の差を積分すれば面積が出る。

解法1

まず，共有点は

$$ x^2+\left(\frac{x^2}{k}-1\right)^2=1 $$

を満たす点である。

これを整理すると，

$$ x^2+\frac{x^4}{k^2}-\frac{2x^2}{k}+1=1 $$

$$ x^2+\frac{x^4}{k^2}-\frac{2x^2}{k}=0 $$

$$ x^2\left(1-\frac{2}{k}+\frac{x^2}{k^2}\right)=0 $$

$$ x^2\left(\frac{k^2-2k+x^2}{k^2}\right)=0 $$

となるから，

$$ x^2=0 \quad \text{または} \quad x^2=2k-k^2 $$

である。

したがって，常に $(0,0)$ は共有点である。 さらに $x^2=2k-k^2$ が正であれば，

$$ x=\pm\sqrt{2k-k^2} $$

に対応する 2 点が加わる。

よって，共有点の個数は次のようになる。

**(i)**

$2k-k^2>0$，すなわち $0<k<2$ のとき

$$ x=\pm\sqrt{2k-k^2} $$

が実数で，しかも $0$ ではないので，共有点は

$$ (0,0),\ \left(\sqrt{2k-k^2},,2-k\right),\ \left(-\sqrt{2k-k^2},,2-k\right) $$

の 3 個である。

**(ii)**

$2k-k^2=0$ のときは $k=2$ であり，このときは $x=0$ のみだから共有点は 1 個である。

**(iii)**

$2k-k^2<0$ のときは追加の共有点は存在せず，共有点は $(0,0)$ のみである。

したがって，（1） の答えは

$$ 0<k<2 $$

である。

次に （2） を考える。

$0<k<2$ のとき，$x$ 座標が正の共有点を $P$ とすると，

$$ P\left(\sqrt{2k-k^2},,2-k\right) $$

である。

ここで

$$ x_0=\sqrt{2k-k^2} $$

とおくと，

$$ P=(x_0,\frac{x_0^2}{k}) $$

である。

放物線 $S:y=\dfrac{1}{k}x^2$ の接線の傾きは

$$ y'=\frac{2x}{k} $$

より，点 $P$ における接線は

$$ y-\frac{x_0^2}{k}=\frac{2x_0}{k}(x-x_0) $$

すなわち

$$ y=\frac{2x_0}{k}x-\frac{x_0^2}{k} $$

である。

求める面積を $A$ とすると，$0\le x\le x_0$ において放物線が接線の上側にあるので，

$$ A=\int_0^{x_0}\left(\frac{x^2}{k}-\left(\frac{2x_0}{k}x-\frac{x_0^2}{k}\right)\right),dx $$

である。

被積分関数を整理すると，

$$ \frac{x^2}{k}-\frac{2x_0}{k}x+\frac{x_0^2}{k} =\frac{(x-x_0)^2}{k} $$

だから，

$$ A=\frac{1}{k}\int_0^{x_0}(x-x_0)^2,dx $$

$$ =\frac{1}{k}\cdot\frac{x_0^3}{3} $$

となる。

ここで $x_0^2=2k-k^2=k(2-k)$ であるから，

$$ A=\frac{(2k-k^2)^{3/2}}{3k} =\frac{\sqrt{k}(2-k)^{3/2}}{3} $$

となる。

したがって，$A$ を最大にするには

$$ \sqrt{k}(2-k)^{3/2} $$

を最大にすればよい。これは正であるから，2 乗して

$$ k(2-k)^3 $$

を最大にすれば十分である。

$f(k)=k(2-k)^3$ とおくと，

$$ f'(k)=(2-k)^3-3k(2-k)^2 $$

$$ =(2-k)^2{(2-k)-3k} $$

$$ =2(2-k)^2(1-2k) $$

である。

$0<k<2$ において，$f'(k)=0$ となるのは

$$ k=\frac{1}{2} $$

のときであり，このとき最大値をとる。

したがって，

$$ A_{\max} =\frac{1}{3}\sqrt{\frac12}\left(2-\frac12\right)^{3/2} $$

$$ =\frac{1}{3}\sqrt{\frac12}\left(\frac32\right)^{3/2} $$

$$ =\frac{1}{3}\sqrt{\frac{27}{16}} =\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt3}{4} =\frac{\sqrt3}{4} $$

となる。

解説

この問題の核心は，円と放物線の連立をそのまま $x^2$ の方程式に落とすことである。 実際には

$$ x^2=0,\quad x^2=2k-k^2 $$

の 2 種類しか現れないので，共有点の個数判定は非常に簡単になる。

また （2） では，共有点 $P$ の座標を直接 $k$ で表し，接線と放物線の差を計算すると

$$ \frac{(x-x_0)^2}{k} $$

というきれいな形になる。ここまで整理できれば，面積計算も最大値計算も機械的に進められる。

答え

**(1)**

共有点をちょうど 3 個もつ $k$ の範囲は

$$ 0<k<2 $$

である。

**(2)**

求める面積の最大値は

$$ \frac{\sqrt3}{4} $$

である。