解説

方針・初手

$$ m=\frac{a+b}{2},\qquad d=\frac{b-a}{2}\ (>0) $$

とおくと，

$$ a=m-d,\qquad b=m+d $$

であり，関数は

$$ f(x)=(x-a)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)(x-b)=\bigl((x-m)+d\bigr)(x-m)\bigl((x-m)-d\bigr) $$

となる。したがって $x-m$ を新しい変数として見ると，$f(x)$ は中心 $x=m$ に関して奇関数の形になる。これを用いて （1） を示し，さらに接線条件を「接点における微分係数＝その点と $A$ を結ぶ直線の傾き」として （2） を求める。最後に （3） は対称性と積分で処理する。

解法1

**(1)**

$u=x-m$ とおくと，

$$ f(x)=f(m+u)=(u+d)u(u-d)=u^3-d^2u $$

である。よって任意の実数 $t$ に対して

$$ f(m+t)=t^3-d^2t,\qquad f(m-t)=(-t)^3-d^2(-t)=-t^3+d^2t=-f(m+t) $$

が成り立つ。

したがって，グラフ上の点 $(m+t,\ f(m+t))$ に対して，点 $(m-t,\ -f(m+t))$ も同じグラフ上にある。これは点

$$ \left(m,0\right)=\left(\frac{a+b}{2},0\right) $$

を中心とする点対称であることを意味する。ゆえに，$y=f(x)$ のグラフは点 $\left(\dfrac{a+b}{2},0\right)$ に関して対称である。

**(2)**

接点 $C$ の $x$ 座標を $c$ とし，

$$ C=(c,\ f(c)) $$

とおく。ただし $c\neq a$ である。

点 $C$ における接線が点 $A(a,0)$ を通るので，その傾きは

$$ f'(c)=\frac{f(c)-0}{c-a}=\frac{f(c)}{c-a} $$

を満たす。

ここで $u=c-m$ とおくと，

$$ c-a=(m+u)-(m-d)=u+d $$

であり，また

$$ f(c)=u^3-d^2u=u(u^2-d^2)=u(u-d)(u+d) $$

だから，

$$ \frac{f(c)}{c-a}=u(u-d) $$

となる。

一方，

$$ f(x)=(x-m)^3-d^2(x-m) $$

より

$$ f'(x)=3(x-m)^2-d^2 $$

であるから，

$$ f'(c)=3u^2-d^2 $$

である。よって接線条件は

$$ 3u^2-d^2=u(u-d) $$

となる。整理すると，

$$ 2u^2+du-d^2=0 $$

すなわち

$$ (2u-d)(u+d)=0 $$

である。

$u=-d$ は $c=a$ に対応し，これは「$A$ でない点で接する」という条件に反するから除く。したがって

$$ u=\frac d2 $$

である。よって

$$ c=m+\frac d2=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{4}=\frac{a+3b}{4} $$

となる。

さらに $y$ 座標は

$$ f(c)=u^3-d^2u=\left(\frac d2\right)^3-d^2\left(\frac d2\right) =\frac{d^3}{8}-\frac{d^3}{2} =-\frac{3d^3}{8} $$

であるから，

$$ f(c)=-\frac{3}{8}\left(\frac{b-a}{2}\right)^3=-\frac{3(b-a)^3}{64} $$

となる。

ゆえに

$$ C\left(\frac{a+3b}{4},\ -\frac{3(b-a)^3}{64}\right) $$

である。

**(3)**

まず $S_1$ を求める。

$f(x)=u^3-d^2u$ は，$u\in[-d,0]$ で正，$u\in[0,d]$ で負である。また （1） の対称性より，$[a,m]$ と $[m,b]$ における面積は等しい。したがって

$$ S_1=2\int_a^m f(x),dx $$

である。$u=x-m$ とおくと，$x=a$ のとき $u=-d$，$x=m$ のとき $u=0$ だから，

$$ S_1=2\int_{-d}^{0}(u^3-d^2u),du $$

となる。計算すると，

$$ \int (u^3-d^2u),du=\frac{u^4}{4}-\frac{d^2u^2}{2} $$

より，

$$ S_1 =2\left[\frac{u^4}{4}-\frac{d^2u^2}{2}\right]_{-d}^{0} =2\left(0-\left(\frac{d^4}{4}-\frac{d^4}{2}\right)\right) =2\cdot \frac{d^4}{4} =\frac{d^4}{2} $$

である。したがって

$$ S_1=\frac{1}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^4=\frac{(b-a)^4}{32} $$

となる。

次に $S_2$ を求める。

（1） の点対称性により，点 $A(a,0)$ と $B(b,0)$ は中心 $\left(m,0\right)$ に関して対称であるから，点 $D$ は点 $C$ の対称な点である。よって

$$ D\left(\frac{3a+b}{4},\ \frac{3(b-a)^3}{64}\right) $$

となる。

四角形 $ACBD$ は対角線 $AB$ で 2 つの三角形 $\triangle ACB$，$\triangle ABD$ に分かれる。$AB=b-a=2d$ であり，それぞれの高さは

$$ |y_C|=|y_D|=\frac{3(b-a)^3}{64}=\frac{3d^3}{8} $$

であるから，

$$ S_2=\frac12\cdot AB\cdot |y_C|+\frac12\cdot AB\cdot |y_D| $$

すなわち

$$ S_2=\frac12\cdot 2d\cdot \frac{3d^3}{8}+\frac12\cdot 2d\cdot \frac{3d^3}{8} =\frac{3d^4}{8}+\frac{3d^4}{8} =\frac{3d^4}{4} $$

となる。したがって

$$ S_2=\frac34\left(\frac{b-a}{2}\right)^4=\frac{3(b-a)^4}{64} $$

である。

以上より，

$$ S_1:S_2=\frac{(b-a)^4}{32}:\frac{3(b-a)^4}{64}=2:3 $$

となる。

解説

この問題の核心は，$x-\dfrac{a+b}{2}$ を基準に見ることである。そうすると関数は

$$ f(x)=(x-m)^3-d^2(x-m) $$

という形になり，中心 $x=m$ に関する奇関数であることがすぐ分かる。この形に直せると，グラフの点対称性，接点の計算，面積計算が一気に整理される。

また，接線の問題では「接線がある点を通る」という条件を，その点と接点を結ぶ直線の傾きと微分係数が一致することに直すのが基本である。ここを直接式に落とせるかどうかが重要である。

答え

**(1)**

$y=f(x)$ のグラフは

$$ \left(\frac{a+b}{2},0\right) $$

に関して対称である。

**(2)**

$$ C\left(\frac{a+3b}{4},\ -\frac{3(b-a)^3}{64}\right) $$

**(3)**

$$ S_1:S_2=2:3 $$