解説

方針・初手

直線 $y=d$ との交点の $x$ 座標が連続する3整数であることから、$f(x)-d$ の3つの根を $n-1,n,n+1$ とおく。すると曲線は平行移動によって標準形

$$ y=X^3-X+d $$

に直せる。

あとは、この曲線が $x$ 軸に接する条件を「$y=0$ が重解をもつこと」と読み替えて、式と導関数を同時に満たす点を求めればよい。

解法1

曲線を

$$ y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c $$

とする。

直線 $y=d$ との交点の $x$ 座標が連続する3整数であるから、それらを $n-1,n,n+1$ とおけば

$$ f(x)-d=(x-(n-1))(x-n)(x-(n+1)) $$

である。ここで $X=x-n$ とおくと、

$$ f(x)-d=(X+1)X(X-1)=X^3-X $$

となるので、

$$ y=X^3-X+d $$

と書ける。

この曲線が $x$ 軸に接するので、ある $X=t$ で

$$ t^3-t+d=0,\qquad 3t^2-1=0 $$

が同時に成り立つ。

後式より

$$ t=\pm \frac{1}{\sqrt{3}} $$

であり、これを前式に代入すると

$$ d=\pm \frac{2}{3\sqrt{3}} $$

を得る。

ここでまず

$$ d=\frac{2}{3\sqrt{3}} $$

の場合を考える。このとき

$$ y=X^3-X+\frac{2}{3\sqrt{3}} $$

であり、$X=\frac{1}{\sqrt{3}}$ で $x$ 軸に接するから、

$$ y=\left(X-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\left(X+\frac{2}{\sqrt{3}}\right) $$

と因数分解できる。したがって $x$ 軸との交点は

$$ X=-\frac{2}{\sqrt{3}},\qquad X=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。

この区間では $(X-\frac{1}{\sqrt{3}})^2\ge 0$ かつ $X+\frac{2}{\sqrt{3}}\ge 0$ であるから、曲線は $x$ 軸の上側にある。よって囲まれる部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_{-2/\sqrt{3}}^{1/\sqrt{3}} \left(X^3-X+\frac{2}{3\sqrt{3}}\right),dX $$

である。

原始関数は

$$ \frac{X^4}{4}-\frac{X^2}{2}+\frac{2X}{3\sqrt{3}} $$

だから、

$$ \begin{aligned} S &=\left[\frac{X^4}{4}-\frac{X^2}{2}+\frac{2X}{3\sqrt{3}}\right]_{-2/\sqrt{3}}^{1/\sqrt{3}} \\ &=\left(\frac{1}{36}-\frac{1}{6}+\frac{2}{9}\right)-\left(\frac{4}{9}-\frac{2}{3}-\frac{4}{9}\right) \\ &=\frac{1}{12}+\frac{2}{3} \\ &=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

また、

$$ d=-\frac{2}{3\sqrt{3}} $$

の場合は、上のグラフを原点対称にした形になるだけであり、$x$ 軸と囲む面積は同じである。したがって求める面積は常に

$$ \frac{3}{4} $$

である。

解説

条件「直線 $y=d$ との交点の $x$ 座標が連続する3整数」は、$f(x)-d$ が連続する3整数を根にもつことを意味する。monic な3次式なので、中央の整数 $n$ で平行移動すれば必ず $X^3-X$ の形になる。

また、3次関数が $x$ 軸に接するとは、$y=0$ が重解をもつということである。したがって、関数とその導関数を同時に $0$ とおくのが本質である。平行移動して標準形にしてしまえば、面積計算も直接できる。

答え

$$ \frac{3}{4} $$