解説

方針・初手

$f(t)$ は

$$ 0 \le t \le 1 \text{ のとき } f(t)=t,\qquad t>1 \text{ のとき } f(t)=0 $$

である。

したがって、被積分関数 $f\left(\dfrac{x^2}{k}\right)$ は、まず $\dfrac{x^2}{k} \le 1$ となる範囲を調べればよい。これは

$$ x^2 \le k $$

すなわち

$$ 0 \le x \le \sqrt{k} $$

である。よって、積分区間 $[0,3]$ と $[0,\sqrt{k}]$ の重なり方で場合分けする。

解法1

$x \in [0,3]$ で考える。

$\dfrac{x^2}{k} \le 1$ のときは

$$ f\left(\frac{x^2}{k}\right)=\frac{x^2}{k} $$

であり、$\dfrac{x^2}{k}>1$ のときは

$$ f\left(\frac{x^2}{k}\right)=0 $$

である。

したがって

$$ f\left(\frac{x^2}{k}\right)= \begin{cases} \dfrac{x^2}{k} & \left(0 \le x \le \sqrt{k}\right) \\ 0 & \left(\sqrt{k}<x\le 3\right) \end{cases} $$

となる。ただし、$\sqrt{k}\ge 3$ のときは区間 $[0,3]$ 全体で $\dfrac{x^2}{k}\le 1$ である。

そこで $k$ の値で場合分けする。

**(i)**

$1 \le k \le 8$ のとき

このとき $\sqrt{k}<3$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^3 f\left(\frac{x^2}{k}\right),dx &= \int_0^{\sqrt{k}} \frac{x^2}{k},dx \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} \int_0^{\sqrt{k}} \frac{x^2}{k},dx &= \frac{1}{k}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{k}} \\ \frac{1}{k}\cdot \frac{(\sqrt{k})^3}{3} \\ \frac{\sqrt{k}}{3} \end{aligned} $$

である。

**(ii)**

$k \ge 9$ のとき

このとき $\sqrt{k}\ge 3$ であるから、$0 \le x \le 3$ のすべてで $\dfrac{x^2}{k}\le 1$ となる。したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^3 f\left(\frac{x^2}{k}\right),dx &= \int_0^3 \frac{x^2}{k},dx \\ \frac{1}{k}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 \\ \frac{1}{k}\cdot 9 \\ \frac{9}{k} \end{aligned} $$

である。

以上より、

$$ \int_0^3 f\left(\frac{x^2}{k}\right),dx = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{k}}{3} & (1\le k\le 8) \\ \dfrac{9}{k} & (k\ge 9) \end{cases} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$f$ の定義に合わせて $\dfrac{x^2}{k}\le 1$ となる範囲を正確に取り出すことである。

$f$ は入力が $1$ 以下ならそのまま値を返し、$1$ を超えると $0$ になる関数なので、$f\left(\dfrac{x^2}{k}\right)$ は途中で切り替わる関数になる。したがって、$\sqrt{k}$ と積分区間の上端 $3$ の大小比較が本質である。

答え

$$ \int_0^3 f\left(\frac{x^2}{k}\right),dx = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{k}}{3} & (1\le k\le 8) \\ \dfrac{9}{k} & (k\ge 9) \end{cases} $$