解説

方針・初手

絶対値の中身は $x-a$ である。積分区間は $0\le x\le 1$ なので、$a$ が区間 $[0,1]$ の左側・内部・右側のどこにあるかで $|x-a|$ の外し方が変わる。

したがって、$a\le 0$, $0\le a\le 1$, $a\ge 1$ の3つに場合分けして $S(a)$ を求め、その後に最小値を調べる。

解法1

**(i)**

$a\le 0$ のとき

このとき、$0\le x\le 1$ に対して常に $x-a\ge 0$ であるから、

$$ |x-a|=x-a $$

である。よって、

$$ S(a)=\int_0^1 x(x-a),dx =\int_0^1 (x^2-ax),dx =\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a x^2}{2}\right]_0^1 =\frac13-\frac a2 $$

となる。

**(ii)**

$0\le a\le 1$ のとき

このとき、$x=a$ を境に符号が変わるので、積分を分ける。

$0\le x\le a$ では $x-a\le 0$ より

$$ |x-a|=a-x $$

$a\le x\le 1$ では $x-a\ge 0$ より

$$ |x-a|=x-a $$

である。したがって、

$$ S(a)=\int_0^a x(a-x),dx+\int_a^1 x(x-a),dx $$

まず、

$$ \int_0^a x(a-x),dx =\int_0^a (ax-x^2),dx =\left[\frac{a x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^a =\frac{a^3}{6} $$

また、

$$ \int_a^1 x(x-a),dx =\int_a^1 (x^2-ax),dx =\left[\frac{x^3}{3}-\frac{a x^2}{2}\right]_a^1 =\frac13-\frac a2+\frac{a^3}{6} $$

よって、

$$ S(a)=\frac{a^3}{6}+\left(\frac13-\frac a2+\frac{a^3}{6}\right) =\frac13-\frac a2+\frac{a^3}{3} $$

となる。

**(iii)**

$a\ge 1$ のとき

このとき、$0\le x\le 1$ に対して常に $x-a\le 0$ であるから、

$$ |x-a|=a-x $$

である。よって、

$$ S(a)=\int_0^1 x(a-x),dx =\int_0^1 (ax-x^2),dx =\left[\frac{a x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac a2-\frac13 $$

となる。

以上より、

$$ S(a)= \begin{cases} \displaystyle \frac13-\frac a2 & (a\le 0),\\[6pt] \displaystyle \frac13-\frac a2+\frac{a^3}{3} & (0\le a\le 1),\\[6pt] \displaystyle \frac a2-\frac13 & (a\ge 1). \end{cases} $$

次に最小値を求める。

**(iv)**

$a\le 0$ では

$$ S(a)=\frac13-\frac a2 $$

であり、$a$ が大きくなるほど値は小さくなる。したがって、この範囲での最小値は $a=0$ のとき

$$ S(0)=\frac13 $$

である。

**(v)**

$a\ge 1$ では

$$ S(a)=\frac a2-\frac13 $$

であり、$a$ が大きくなるほど値は大きくなる。したがって、この範囲での最小値は $a=1$ のとき

$$ S(1)=\frac16 $$

である。

**(vi)**

$0\le a\le 1$ では

$$ S(a)=\frac13-\frac a2+\frac{a^3}{3} $$

だから、

$$ S'(a)=-\frac12+a^2 $$

となる。よって、

$$ S'(a)=0 \iff a^2=\frac12 \iff a=\frac{1}{\sqrt2} $$

である。ただし $0\le a\le 1$ なので適するのは $a=\dfrac{1}{\sqrt2}$ である。

さらに、

$$ S''(a)=2a\ge 0 $$

より、$a=\dfrac{1}{\sqrt2}$ で最小となる。

そのときの値は、

$$ S\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) =\frac13-\frac{1}{2\sqrt2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt2} =\frac13-\frac{1}{3\sqrt2} =\frac{2-\sqrt2}{6} $$

である。

ここで

$$ \frac{2-\sqrt2}{6}<\frac16<\frac13 $$

であるから、全体の最小値は

$$ \frac{2-\sqrt2}{6} $$

となる。

解説

この問題の要点は、絶対値を含む積分では「絶対値の中身の符号がどこで変わるか」を先に見ることである。

今回は $|x-a|$ の符号が $x=a$ で変わるが、そもそも $a$ が積分区間 $[0,1]$ の外にあると、区間全体で符号が一定になる。そのため、$a\le 0$, $0\le a\le 1$, $a\ge 1$ の場合分けが自然である。

最小値については、求めた式をそのまま区間ごとに調べればよい。外側の区間では1次式なので端で最小になり、中央の区間では微分して極値を調べるのが標準的である。

答え

$$ \text{(1)}\quad S(a)= \begin{cases} \displaystyle \frac13-\frac a2 & (a\le 0),\\[6pt] \displaystyle \frac13-\frac a2+\frac{a^3}{3} & (0\le a\le 1),\\[6pt] \displaystyle \frac a2-\frac13 & (a\ge 1). \end{cases} $$

$$ \text{(2)}\quad S(a)\text{ の最小値は }\frac{2-\sqrt2}{6}\text{ であり、そのとき }a=\frac{1}{\sqrt2}. $$